Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53887 / 20839
↖ ↑ ↗
← N 54.651591°
E116.010132°		 ← 353.37 m → N 54.651591°
E116.015625°		 →
↑
353.40 m
↓
↑
353.40 m
↓
N 54.648413°
E116.010132°		 ← 353.40 m →
124 885 m²		 N 54.648413°
E116.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822257995605469 y=0.317985534667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822257995605469 × 216)
    floor (0.822257995605469 × 65536)
    floor (53887.5)     		tx = 53887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317985534667969 × 216)
    floor (0.317985534667969 × 65536)
    floor (20839.5)     		ty = 20839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53887 / 20839 ti = "16/53887/20839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53887/20839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53887 ÷ 216
    53887 ÷ 65536     		x = 0.822250366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20839 ÷ 216
    20839 ÷ 65536     		y = 0.317977905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822250366210938 × 2 - 1) × π
    0.644500732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02475877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317977905273438 × 2 - 1) × π
    0.364044189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1436785511353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02475877} λ = 2.02475877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1436785511353))-π/2
    2×atan(3.13829152377576)-π/2
    2×1.26232326279735-π/2
    2.5246465255947-1.57079632675     		φ = 0.95385020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02475877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.010132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95385020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.651591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53887 KachelY 20839 2.02475877 0.95385020 116.010132 54.651591
    Oben rechts KachelX + 1 53888 KachelY 20839 2.02485464 0.95385020 116.015625 54.651591
    Unten links KachelX 53887 KachelY + 1 20840 2.02475877 0.95379473 116.010132 54.648413
    Unten rechts KachelX + 1 53888 KachelY + 1 20840 2.02485464 0.95379473 116.015625 54.648413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95385020-0.95379473) × R
    5.54699999999464e-05 × 6371000     		dl = 353.399369999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95385020-0.95379473) × R
    5.54699999999464e-05 × 6371000     		dr = 353.399369999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02475877-2.02485464) × cos(0.95385020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578546973383645 × 6371000     		do = 353.369415713238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02475877-2.02485464) × cos(0.95379473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578592216547265 × 6371000     		du = 353.397049684254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95385020)-sin(0.95379473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578546973383645-0.578592216547265)×R²
    abs(2.02485464-2.02475877)×4.52431636206452e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52431636206452e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52431636206452e-05×40589641000000     		ar = 124885.411836299m²