Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53886 / 20904
↖ ↑ ↗
← N 54.444492°
E116.004639°		 ← 355.20 m → N 54.444492°
E116.010132°		 →
↑
355.18 m
↓
↑
355.18 m
↓
N 54.441297°
E116.004639°		 ← 355.23 m →
126 168 m²		 N 54.441297°
E116.010132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822242736816406 y=0.318977355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822242736816406 × 216)
    floor (0.822242736816406 × 65536)
    floor (53886.5)     		tx = 53886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318977355957031 × 216)
    floor (0.318977355957031 × 65536)
    floor (20904.5)     		ty = 20904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53886 / 20904 ti = "16/53886/20904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53886/20904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53886 ÷ 216
    53886 ÷ 65536     		x = 0.822235107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20904 ÷ 216
    20904 ÷ 65536     		y = 0.3189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822235107421875 × 2 - 1) × π
    0.64447021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02466289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3189697265625 × 2 - 1) × π
    0.362060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13744675418469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02466289} λ = 2.02466289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13744675418469))-π/2
    2×atan(3.11879514007563)-π/2
    2×1.26051598381076-π/2
    2.52103196762152-1.57079632675     		φ = 0.95023564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02466289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.004639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95023564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.444492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53886 KachelY 20904 2.02466289 0.95023564 116.004639 54.444492
    Oben rechts KachelX + 1 53887 KachelY 20904 2.02475877 0.95023564 116.010132 54.444492
    Unten links KachelX 53886 KachelY + 1 20905 2.02466289 0.95017989 116.004639 54.441297
    Unten rechts KachelX + 1 53887 KachelY + 1 20905 2.02475877 0.95017989 116.010132 54.441297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95023564-0.95017989) × R
    5.57500000000211e-05 × 6371000     		dl = 355.183250000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95023564-0.95017989) × R
    5.57500000000211e-05 × 6371000     		dr = 355.183250000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02466289-2.02475877) × cos(0.95023564) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.58149140008678 × 6371000     		do = 355.204882350049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02466289-2.02475877) × cos(0.95017989) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.581536754737764 × 6371000     		du = 355.232587305727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95023564)-sin(0.95017989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58149140008678-0.581536754737764)×R²
    abs(2.02475877-2.02466289)×4.53546509836533e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.53546509836533e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.53546509836533e-05×40589641000000     		ar = 126167.744729712m²