Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53886 / 13444
↖ ↑ ↗
← N 80.587930°
W 31.997681°		 ← 49.95 m → N 80.587930°
W 31.994934°		 →
↑
49.95 m
↓
↑
49.95 m
↓
N 80.587481°
W 31.997681°		 ← 49.95 m →
2 495 m²		 N 80.587481°
W 31.994934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411121368408203 y=0.102573394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411121368408203 × 217)
    floor (0.411121368408203 × 131072)
    floor (53886.5)     		tx = 53886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102573394775391 × 217)
    floor (0.102573394775391 × 131072)
    floor (13444.5)     		ty = 13444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53886 / 13444 ti = "17/53886/13444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53886/13444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53886 ÷ 217
    53886 ÷ 131072     		x = 0.411117553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13444 ÷ 217
    13444 ÷ 131072     		y = 0.102569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411117553710938 × 2 - 1) × π
    -0.177764892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55846488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102569580078125 × 2 - 1) × π
    0.79486083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49712897500797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55846488} λ = -0.55846488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49712897500797))-π/2
    2×atan(12.1475678768974)-π/2
    2×1.48866052522755-π/2
    2.97732105045509-1.57079632675     		φ = 1.40652472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55846488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.997681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40652472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.587930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53886 KachelY 13444 -0.55846488 1.40652472 -31.997681 80.587930
    Oben rechts KachelX + 1 53887 KachelY 13444 -0.55841694 1.40652472 -31.994934 80.587930
    Unten links KachelX 53886 KachelY + 1 13445 -0.55846488 1.40651688 -31.997681 80.587481
    Unten rechts KachelX + 1 53887 KachelY + 1 13445 -0.55841694 1.40651688 -31.994934 80.587481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40652472-1.40651688) × R
    7.83999999987017e-06 × 6371000     		dl = 49.9486399991729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40652472-1.40651688) × R
    7.83999999987017e-06 × 6371000     		dr = 49.9486399991729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55846488--0.55841694) × cos(1.40652472) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.163533787054009 × 6371000     		do = 49.9474279260562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55846488--0.55841694) × cos(1.40651688) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.163541521504817 × 6371000     		du = 49.9497902264177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40652472)-sin(1.40651688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163533787054009-0.163541521504817)×R²
    abs(-0.55841694--0.55846488)×7.73445080803903e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.73445080803903e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.73445080803903e-06×40589641000000     		ar = 2494.86509326236m²