Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53885 / 20880
↖ ↑ ↗
← N 54.521081°
E115.999146°		 ← 354.50 m → N 54.521081°
E116.004639°		 →
↑
354.48 m
↓
↑
354.48 m
↓
N 54.517893°
E115.999146°		 ← 354.53 m →
125 670 m²		 N 54.517893°
E116.004639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822227478027344 y=0.318611145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822227478027344 × 216)
    floor (0.822227478027344 × 65536)
    floor (53885.5)     		tx = 53885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318611145019531 × 216)
    floor (0.318611145019531 × 65536)
    floor (20880.5)     		ty = 20880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53885 / 20880 ti = "16/53885/20880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53885/20880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53885 ÷ 216
    53885 ÷ 65536     		x = 0.822219848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20880 ÷ 216
    20880 ÷ 65536     		y = 0.318603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822219848632812 × 2 - 1) × π
    0.644439697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02456702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318603515625 × 2 - 1) × π
    0.36279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13974772536646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02456702} λ = 2.02456702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13974772536646))-π/2
    2×atan(3.12597966033195)-π/2
    2×1.26118435530982-π/2
    2.52236871061963-1.57079632675     		φ = 0.95157238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02456702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.999146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95157238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.521081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53885 KachelY 20880 2.02456702 0.95157238 115.999146 54.521081
    Oben rechts KachelX + 1 53886 KachelY 20880 2.02466289 0.95157238 116.004639 54.521081
    Unten links KachelX 53885 KachelY + 1 20881 2.02456702 0.95151674 115.999146 54.517893
    Unten rechts KachelX + 1 53886 KachelY + 1 20881 2.02466289 0.95151674 116.004639 54.517893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95157238-0.95151674) × R
    5.56400000000234e-05 × 6371000     		dl = 354.482440000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95157238-0.95151674) × R
    5.56400000000234e-05 × 6371000     		dr = 354.482440000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02456702-2.02466289) × cos(0.95157238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580403372649151 × 6371000     		do = 354.503281680846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02456702-2.02466289) × cos(0.95151674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580448681023274 × 6371000     		du = 354.530955481639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95157238)-sin(0.95151674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580403372649151-0.580448681023274)×R²
    abs(2.02466289-2.02456702)×4.53083741231985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53083741231985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53083741231985e-05×40589641000000     		ar = 125670.093248767m²