Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53885 / 13441
↖ ↑ ↗
← N 80.589278°
W 32.000427°		 ← 49.94 m → N 80.589278°
W 31.997681°		 →
↑
49.95 m
↓
↑
49.95 m
↓
N 80.588829°
W 32.000427°		 ← 49.94 m →
2 495 m²		 N 80.588829°
W 31.997681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411113739013672 y=0.102550506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411113739013672 × 217)
    floor (0.411113739013672 × 131072)
    floor (53885.5)     		tx = 53885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102550506591797 × 217)
    floor (0.102550506591797 × 131072)
    floor (13441.5)     		ty = 13441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53885 / 13441 ti = "17/53885/13441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53885/13441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53885 ÷ 217
    53885 ÷ 131072     		x = 0.411109924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13441 ÷ 217
    13441 ÷ 131072     		y = 0.102546691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411109924316406 × 2 - 1) × π
    -0.177780151367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.55851282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102546691894531 × 2 - 1) × π
    0.794906616210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.49727278570683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55851282} λ = -0.55851282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49727278570683))-π/2
    2×atan(12.1493149527443)-π/2
    2×1.48867228334728-π/2
    2.97734456669456-1.57079632675     		φ = 1.40654824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55851282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.000427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40654824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.589278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53885 KachelY 13441 -0.55851282 1.40654824 -32.000427 80.589278
    Oben rechts KachelX + 1 53886 KachelY 13441 -0.55846488 1.40654824 -31.997681 80.589278
    Unten links KachelX 53885 KachelY + 1 13442 -0.55851282 1.40654040 -32.000427 80.588829
    Unten rechts KachelX + 1 53886 KachelY + 1 13442 -0.55846488 1.40654040 -31.997681 80.588829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40654824-1.40654040) × R
    7.84000000009222e-06 × 6371000     		dl = 49.9486400005875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40654824-1.40654040) × R
    7.84000000009222e-06 × 6371000     		dr = 49.9486400005875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55851282--0.55846488) × cos(1.40654824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163510583641277 × 6371000     		do = 49.940341006436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55851282--0.55846488) × cos(1.40654040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163518318122238 × 6371000     		du = 49.9427033160074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40654824)-sin(1.40654040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163510583641277-0.163518318122238)×R²
    abs(-0.55846488--0.55851282)×7.73448096194618e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.73448096194618e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.73448096194618e-06×40589641000000     		ar = 2494.51111136343m²