Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53884 / 23165
↖ ↑ ↗
← N 46.570191°
E115.993652°		 ← 419.94 m → N 46.570191°
E115.999146°		 →
↑
419.91 m
↓
↑
419.91 m
↓
N 46.566414°
E115.993652°		 ← 419.97 m →
176 344 m²		 N 46.566414°
E115.999146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822212219238281 y=0.353477478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822212219238281 × 216)
    floor (0.822212219238281 × 65536)
    floor (53884.5)     		tx = 53884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353477478027344 × 216)
    floor (0.353477478027344 × 65536)
    floor (23165.5)     		ty = 23165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53884 / 23165 ti = "16/53884/23165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53884/23165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53884 ÷ 216
    53884 ÷ 65536     		x = 0.82220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23165 ÷ 216
    23165 ÷ 65536     		y = 0.353469848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82220458984375 × 2 - 1) × π
    0.6444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02447114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353469848632812 × 2 - 1) × π
    0.293060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.920676094102798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02447114} λ = 2.02447114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920676094102798))-π/2
    2×atan(2.51098748000279)-π/2
    2×1.19179974273107-π/2
    2.38359948546214-1.57079632675     		φ = 0.81280316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02447114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81280316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.570191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53884 KachelY 23165 2.02447114 0.81280316 115.993652 46.570191
    Oben rechts KachelX + 1 53885 KachelY 23165 2.02456702 0.81280316 115.999146 46.570191
    Unten links KachelX 53884 KachelY + 1 23166 2.02447114 0.81273725 115.993652 46.566414
    Unten rechts KachelX + 1 53885 KachelY + 1 23166 2.02456702 0.81273725 115.999146 46.566414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81280316-0.81273725) × R
    6.59100000000024e-05 × 6371000     		dl = 419.912610000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81280316-0.81273725) × R
    6.59100000000024e-05 × 6371000     		dr = 419.912610000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02447114-2.02456702) × cos(0.81280316) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.687465433838738 × 6371000     		do = 419.93927770896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02447114-2.02456702) × cos(0.81273725) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.687513297314588 × 6371000     		du = 419.968515184021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81280316)-sin(0.81273725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687465433838738-0.687513297314588)×R²
    abs(2.02456702-2.02447114)×4.78634758502849e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78634758502849e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78634758502849e-05×40589641000000     		ar = 176343.936800314m²