Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53884 / 20902
↖ ↑ ↗
← N 54.450880°
E115.993652°		 ← 355.15 m → N 54.450880°
E115.999146°		 →
↑
355.12 m
↓
↑
355.12 m
↓
N 54.447686°
E115.993652°		 ← 355.18 m →
126 125 m²		 N 54.447686°
E115.999146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822212219238281 y=0.318946838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822212219238281 × 216)
    floor (0.822212219238281 × 65536)
    floor (53884.5)     		tx = 53884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318946838378906 × 216)
    floor (0.318946838378906 × 65536)
    floor (20902.5)     		ty = 20902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53884 / 20902 ti = "16/53884/20902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53884/20902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53884 ÷ 216
    53884 ÷ 65536     		x = 0.82220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20902 ÷ 216
    20902 ÷ 65536     		y = 0.318939208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82220458984375 × 2 - 1) × π
    0.6444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02447114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318939208984375 × 2 - 1) × π
    0.36212158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13763850178317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02447114} λ = 2.02447114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13763850178317))-π/2
    2×atan(3.11939321889215)-π/2
    2×1.26057172925216-π/2
    2.52114345850433-1.57079632675     		φ = 0.95034713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02447114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95034713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.450880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53884 KachelY 20902 2.02447114 0.95034713 115.993652 54.450880
    Oben rechts KachelX + 1 53885 KachelY 20902 2.02456702 0.95034713 115.999146 54.450880
    Unten links KachelX 53884 KachelY + 1 20903 2.02447114 0.95029139 115.993652 54.447686
    Unten rechts KachelX + 1 53885 KachelY + 1 20903 2.02456702 0.95029139 115.999146 54.447686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95034713-0.95029139) × R
    5.57400000000818e-05 × 6371000     		dl = 355.119540000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95034713-0.95029139) × R
    5.57400000000818e-05 × 6371000     		dr = 355.119540000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02447114-2.02456702) × cos(0.95034713) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.581400693499193 × 6371000     		do = 355.149474096775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02447114-2.02456702) × cos(0.95029139) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.581446043628485 × 6371000     		du = 355.177176290372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95034713)-sin(0.95029139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581400693499193-0.581446043628485)×R²
    abs(2.02456702-2.02447114)×4.53501292921876e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.53501292921876e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.53501292921876e-05×40589641000000     		ar = 126125.436700605m²