Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53884 / 20884
↖ ↑ ↗
← N 54.508327°
E115.993652°		 ← 354.65 m → N 54.508327°
E115.999146°		 →
↑
354.67 m
↓
↑
354.67 m
↓
N 54.505137°
E115.993652°		 ← 354.68 m →
125 790 m²		 N 54.505137°
E115.999146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822212219238281 y=0.318672180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822212219238281 × 216)
    floor (0.822212219238281 × 65536)
    floor (53884.5)     		tx = 53884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318672180175781 × 216)
    floor (0.318672180175781 × 65536)
    floor (20884.5)     		ty = 20884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53884 / 20884 ti = "16/53884/20884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53884/20884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53884 ÷ 216
    53884 ÷ 65536     		x = 0.82220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20884 ÷ 216
    20884 ÷ 65536     		y = 0.31866455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82220458984375 × 2 - 1) × π
    0.6444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02447114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31866455078125 × 2 - 1) × π
    0.3626708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13936423016949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02447114} λ = 2.02447114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13936423016949))-π/2
    2×atan(3.1247810919837)-π/2
    2×1.26107304697907-π/2
    2.52214609395814-1.57079632675     		φ = 0.95134977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02447114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95134977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.508327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53884 KachelY 20884 2.02447114 0.95134977 115.993652 54.508327
    Oben rechts KachelX + 1 53885 KachelY 20884 2.02456702 0.95134977 115.999146 54.508327
    Unten links KachelX 53884 KachelY + 1 20885 2.02447114 0.95129410 115.993652 54.505137
    Unten rechts KachelX + 1 53885 KachelY + 1 20885 2.02456702 0.95129410 115.999146 54.505137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95134977-0.95129410) × R
    5.56699999999521e-05 × 6371000     		dl = 354.673569999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95134977-0.95129410) × R
    5.56699999999521e-05 × 6371000     		dr = 354.673569999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02447114-2.02456702) × cos(0.95134977) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.580584636073327 × 6371000     		do = 354.650984210421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02447114-2.02456702) × cos(0.95129410) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.580629961682187 × 6371000     		du = 354.678671425675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95134977)-sin(0.95129410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580584636073327-0.580629961682187)×R²
    abs(2.02456702-2.02447114)×4.53256088596143e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.53256088596143e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.53256088596143e-05×40589641000000     		ar = 125790.240668015m²