Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53883 / 23162
↖ ↑ ↗
← N 46.581519°
E115.988159°		 ← 419.81 m → N 46.581519°
E115.993652°		 →
↑
419.85 m
↓
↑
419.85 m
↓
N 46.577743°
E115.988159°		 ← 419.84 m →
176 262 m²		 N 46.577743°
E115.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822196960449219 y=0.353431701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822196960449219 × 216)
    floor (0.822196960449219 × 65536)
    floor (53883.5)     		tx = 53883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353431701660156 × 216)
    floor (0.353431701660156 × 65536)
    floor (23162.5)     		ty = 23162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53883 / 23162 ti = "16/53883/23162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53883/23162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53883 ÷ 216
    53883 ÷ 65536     		x = 0.822189331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23162 ÷ 216
    23162 ÷ 65536     		y = 0.353424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822189331054688 × 2 - 1) × π
    0.644378662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02437527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353424072265625 × 2 - 1) × π
    0.29315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.920963715500519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02437527} λ = 2.02437527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920963715500519))-π/2
    2×atan(2.51170979760347)-π/2
    2×1.19189859729054-π/2
    2.38379719458107-1.57079632675     		φ = 0.81300087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02437527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.988159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81300087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.581519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53883 KachelY 23162 2.02437527 0.81300087 115.988159 46.581519
    Oben rechts KachelX + 1 53884 KachelY 23162 2.02447114 0.81300087 115.993652 46.581519
    Unten links KachelX 53883 KachelY + 1 23163 2.02437527 0.81293497 115.988159 46.577743
    Unten rechts KachelX + 1 53884 KachelY + 1 23163 2.02447114 0.81293497 115.993652 46.577743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81300087-0.81293497) × R
    6.58999999999521e-05 × 6371000     		dl = 419.848899999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81300087-0.81293497) × R
    6.58999999999521e-05 × 6371000     		dr = 419.848899999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02437527-2.02447114) × cos(0.81300087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687321840020452 × 6371000     		do = 419.807773938379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02437527-2.02447114) × cos(0.81293497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687369705191009 × 6371000     		du = 419.837009399164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81300087)-sin(0.81293497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687321840020452-0.687369705191009)×R²
    abs(2.02447114-2.02437527)×4.78651705569932e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78651705569932e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78651705569932e-05×40589641000000     		ar = 176261.969400869m²