Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53883 / 20881
↖ ↑ ↗
← N 54.517893°
E115.988159°		 ← 354.53 m → N 54.517893°
E115.993652°		 →
↑
354.61 m
↓
↑
354.61 m
↓
N 54.514704°
E115.988159°		 ← 354.56 m →
125 725 m²		 N 54.514704°
E115.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822196960449219 y=0.318626403808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822196960449219 × 216)
    floor (0.822196960449219 × 65536)
    floor (53883.5)     		tx = 53883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318626403808594 × 216)
    floor (0.318626403808594 × 65536)
    floor (20881.5)     		ty = 20881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53883 / 20881 ti = "16/53883/20881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53883/20881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53883 ÷ 216
    53883 ÷ 65536     		x = 0.822189331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20881 ÷ 216
    20881 ÷ 65536     		y = 0.318618774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822189331054688 × 2 - 1) × π
    0.644378662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02437527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318618774414062 × 2 - 1) × π
    0.362762451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13965185156721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02437527} λ = 2.02437527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13965185156721))-π/2
    2×atan(3.12567997515177)-π/2
    2×1.26115653148564-π/2
    2.52231306297128-1.57079632675     		φ = 0.95151674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02437527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.988159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95151674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.517893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53883 KachelY 20881 2.02437527 0.95151674 115.988159 54.517893
    Oben rechts KachelX + 1 53884 KachelY 20881 2.02447114 0.95151674 115.993652 54.517893
    Unten links KachelX 53883 KachelY + 1 20882 2.02437527 0.95146108 115.988159 54.514704
    Unten rechts KachelX + 1 53884 KachelY + 1 20882 2.02447114 0.95146108 115.993652 54.514704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95151674-0.95146108) × R
    5.56600000000129e-05 × 6371000     		dl = 354.609860000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95151674-0.95146108) × R
    5.56600000000129e-05 × 6371000     		dr = 354.609860000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02437527-2.02447114) × cos(0.95151674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580448681023274 × 6371000     		do = 354.530955481639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02437527-2.02447114) × cos(0.95146108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580494003885729 × 6371000     		du = 354.558638131728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95151674)-sin(0.95146108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580448681023274-0.580494003885729)×R²
    abs(2.02447114-2.02437527)×4.53228624552882e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53228624552882e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53228624552882e-05×40589641000000     		ar = 125725.080791753m²