Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53882 / 23163
↖ ↑ ↗
← N 46.577743°
E115.982666°		 ← 419.84 m → N 46.577743°
E115.988159°		 →
↑
419.85 m
↓
↑
419.85 m
↓
N 46.573967°
E115.982666°		 ← 419.87 m →
176 274 m²		 N 46.573967°
E115.988159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822181701660156 y=0.353446960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822181701660156 × 216)
    floor (0.822181701660156 × 65536)
    floor (53882.5)     		tx = 53882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353446960449219 × 216)
    floor (0.353446960449219 × 65536)
    floor (23163.5)     		ty = 23163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53882 / 23163 ti = "16/53882/23163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53882/23163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53882 ÷ 216
    53882 ÷ 65536     		x = 0.822174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23163 ÷ 216
    23163 ÷ 65536     		y = 0.353439331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822174072265625 × 2 - 1) × π
    0.64434814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02427940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353439331054688 × 2 - 1) × π
    0.293121337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.920867841701279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02427940} λ = 2.02427940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920867841701279))-π/2
    2×atan(2.51146900198576)-π/2
    2×1.19186564806518-π/2
    2.38373129613036-1.57079632675     		φ = 0.81293497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02427940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.982666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81293497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.577743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53882 KachelY 23163 2.02427940 0.81293497 115.982666 46.577743
    Oben rechts KachelX + 1 53883 KachelY 23163 2.02437527 0.81293497 115.988159 46.577743
    Unten links KachelX 53882 KachelY + 1 23164 2.02427940 0.81286907 115.982666 46.573967
    Unten rechts KachelX + 1 53883 KachelY + 1 23164 2.02437527 0.81286907 115.988159 46.573967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81293497-0.81286907) × R
    6.59000000000631e-05 × 6371000     		dl = 419.848900000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81293497-0.81286907) × R
    6.59000000000631e-05 × 6371000     		dr = 419.848900000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02427940-2.02437527) × cos(0.81293497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687369705191009 × 6371000     		do = 419.837009399164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02427940-2.02437527) × cos(0.81286907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68741756737645 × 6371000     		du = 419.866243036677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81293497)-sin(0.81286907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687369705191009-0.68741756737645)×R²
    abs(2.02437527-2.02427940)×4.7862185441061e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7862185441061e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7862185441061e-05×40589641000000     		ar = 176274.24349485m²