Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53882 / 20878
↖ ↑ ↗
← N 54.527458°
E115.982666°		 ← 354.45 m → N 54.527458°
E115.988159°		 →
↑
354.48 m
↓
↑
354.48 m
↓
N 54.524270°
E115.982666°		 ← 354.48 m →
125 650 m²		 N 54.524270°
E115.988159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822181701660156 y=0.318580627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822181701660156 × 216)
    floor (0.822181701660156 × 65536)
    floor (53882.5)     		tx = 53882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318580627441406 × 216)
    floor (0.318580627441406 × 65536)
    floor (20878.5)     		ty = 20878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53882 / 20878 ti = "16/53882/20878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53882/20878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53882 ÷ 216
    53882 ÷ 65536     		x = 0.822174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20878 ÷ 216
    20878 ÷ 65536     		y = 0.318572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822174072265625 × 2 - 1) × π
    0.64434814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02427940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318572998046875 × 2 - 1) × π
    0.36285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13993947296494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02427940} λ = 2.02427940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13993947296494))-π/2
    2×atan(3.12657911689505)-π/2
    2×1.26123999644166-π/2
    2.52247999288332-1.57079632675     		φ = 0.95168367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02427940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.982666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95168367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.527458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53882 KachelY 20878 2.02427940 0.95168367 115.982666 54.527458
    Oben rechts KachelX + 1 53883 KachelY 20878 2.02437527 0.95168367 115.988159 54.527458
    Unten links KachelX 53882 KachelY + 1 20879 2.02427940 0.95162803 115.982666 54.524270
    Unten rechts KachelX + 1 53883 KachelY + 1 20879 2.02437527 0.95162803 115.988159 54.524270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95168367-0.95162803) × R
    5.56400000000234e-05 × 6371000     		dl = 354.482440000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95168367-0.95162803) × R
    5.56400000000234e-05 × 6371000     		dr = 354.482440000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02427940-2.02437527) × cos(0.95168367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580312742366653 × 6371000     		do = 354.447925812705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02427940-2.02437527) × cos(0.95162803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580358054334595 × 6371000     		du = 354.475601808558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95168367)-sin(0.95162803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580312742366653-0.580358054334595)×R²
    abs(2.02437527-2.02427940)×4.53119679425518e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53119679425518e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53119679425518e-05×40589641000000     		ar = 125650.470954694m²