Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53881 / 20917
↖ ↑ ↗
← N 54.402946°
E115.977173°		 ← 355.57 m → N 54.402946°
E115.982666°		 →
↑
355.57 m
↓
↑
355.57 m
↓
N 54.399748°
E115.977173°		 ← 355.59 m →
126 432 m²		 N 54.399748°
E115.982666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822166442871094 y=0.319175720214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822166442871094 × 216)
    floor (0.822166442871094 × 65536)
    floor (53881.5)     		tx = 53881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319175720214844 × 216)
    floor (0.319175720214844 × 65536)
    floor (20917.5)     		ty = 20917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53881 / 20917 ti = "16/53881/20917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53881/20917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53881 ÷ 216
    53881 ÷ 65536     		x = 0.822158813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20917 ÷ 216
    20917 ÷ 65536     		y = 0.319168090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822158813476562 × 2 - 1) × π
    0.644317626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02418352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319168090820312 × 2 - 1) × π
    0.361663818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13620039479457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02418352} λ = 2.02418352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13620039479457))-π/2
    2×atan(3.11491042184733)-π/2
    2×1.26015342642784-π/2
    2.52030685285568-1.57079632675     		φ = 0.94951053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02418352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.977173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94951053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.402946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53881 KachelY 20917 2.02418352 0.94951053 115.977173 54.402946
    Oben rechts KachelX + 1 53882 KachelY 20917 2.02427940 0.94951053 115.982666 54.402946
    Unten links KachelX 53881 KachelY + 1 20918 2.02418352 0.94945472 115.977173 54.399748
    Unten rechts KachelX + 1 53882 KachelY + 1 20918 2.02427940 0.94945472 115.982666 54.399748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94951053-0.94945472) × R
    5.58099999999895e-05 × 6371000     		dl = 355.565509999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94951053-0.94945472) × R
    5.58099999999895e-05 × 6371000     		dr = 355.565509999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02418352-2.02427940) × cos(0.94951053) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.582081162255043 × 6371000     		do = 355.565139445027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02418352-2.02427940) × cos(0.94945472) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.58212654217236 × 6371000     		du = 355.592859834682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94951053)-sin(0.94945472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582081162255043-0.58212654217236)×R²
    abs(2.02427940-2.02418352)×4.53799173173453e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.53799173173453e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.53799173173453e-05×40589641000000     		ar = 126431.628384997m²