Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53880 / 23160
↖ ↑ ↗
← N 46.589069°
E115.971680°		 ← 419.75 m → N 46.589069°
E115.977173°		 →
↑
419.79 m
↓
↑
419.79 m
↓
N 46.585294°
E115.971680°		 ← 419.78 m →
176 211 m²		 N 46.585294°
E115.977173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822151184082031 y=0.353401184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822151184082031 × 216)
    floor (0.822151184082031 × 65536)
    floor (53880.5)     		tx = 53880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353401184082031 × 216)
    floor (0.353401184082031 × 65536)
    floor (23160.5)     		ty = 23160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53880 / 23160 ti = "16/53880/23160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53880/23160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53880 ÷ 216
    53880 ÷ 65536     		x = 0.8221435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23160 ÷ 216
    23160 ÷ 65536     		y = 0.3533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8221435546875 × 2 - 1) × π
    0.644287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02408765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3533935546875 × 2 - 1) × π
    0.293212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.921155463098999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02408765} λ = 2.02408765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.921155463098999))-π/2
    2×atan(2.51219145810238)-π/2
    2×1.19196448885793-π/2
    2.38392897771585-1.57079632675     		φ = 0.81313265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02408765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81313265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.589069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53880 KachelY 23160 2.02408765 0.81313265 115.971680 46.589069
    Oben rechts KachelX + 1 53881 KachelY 23160 2.02418352 0.81313265 115.977173 46.589069
    Unten links KachelX 53880 KachelY + 1 23161 2.02408765 0.81306676 115.971680 46.585294
    Unten rechts KachelX + 1 53881 KachelY + 1 23161 2.02418352 0.81306676 115.977173 46.585294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81313265-0.81306676) × R
    6.58900000000129e-05 × 6371000     		dl = 419.785190000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81313265-0.81306676) × R
    6.58900000000129e-05 × 6371000     		dr = 419.785190000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02408765-2.02418352) × cos(0.81313265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687226115253693 × 6371000     		do = 419.749306421557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02408765-2.02418352) × cos(0.81306676) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687273979128969 × 6371000     		du = 419.778541091201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81313265)-sin(0.81306676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687226115253693-0.687273979128969)×R²
    abs(2.02418352-2.02408765)×4.78638752767768e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78638752767768e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78638752767768e-05×40589641000000     		ar = 176210.6785528m²