Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53880 / 20916
↖ ↑ ↗
← N 54.406143°
E115.971680°		 ← 355.50 m → N 54.406143°
E115.977173°		 →
↑
355.50 m
↓
↑
355.50 m
↓
N 54.402946°
E115.971680°		 ← 355.53 m →
126 386 m²		 N 54.402946°
E115.977173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822151184082031 y=0.319160461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822151184082031 × 216)
    floor (0.822151184082031 × 65536)
    floor (53880.5)     		tx = 53880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319160461425781 × 216)
    floor (0.319160461425781 × 65536)
    floor (20916.5)     		ty = 20916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53880 / 20916 ti = "16/53880/20916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53880/20916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53880 ÷ 216
    53880 ÷ 65536     		x = 0.8221435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20916 ÷ 216
    20916 ÷ 65536     		y = 0.31915283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8221435546875 × 2 - 1) × π
    0.644287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02408765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31915283203125 × 2 - 1) × π
    0.3616943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13629626859381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02408765} λ = 2.02408765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13629626859381))-π/2
    2×atan(3.11520907446002)-π/2
    2×1.26018132850662-π/2
    2.52036265701323-1.57079632675     		φ = 0.94956633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02408765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94956633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.406143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53880 KachelY 20916 2.02408765 0.94956633 115.971680 54.406143
    Oben rechts KachelX + 1 53881 KachelY 20916 2.02418352 0.94956633 115.977173 54.406143
    Unten links KachelX 53880 KachelY + 1 20917 2.02408765 0.94951053 115.971680 54.402946
    Unten rechts KachelX + 1 53881 KachelY + 1 20917 2.02418352 0.94951053 115.977173 54.402946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94956633-0.94951053) × R
    5.58000000000503e-05 × 6371000     		dl = 355.50180000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94956633-0.94951053) × R
    5.58000000000503e-05 × 6371000     		dr = 355.50180000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02408765-2.02418352) × cos(0.94956633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582035788656316 × 6371000     		do = 355.500341413575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02408765-2.02418352) × cos(0.94951053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582081162255043 × 6371000     		du = 355.528055052758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94956633)-sin(0.94951053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582035788656316-0.582081162255043)×R²
    abs(2.02418352-2.02408765)×4.53735987265835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53735987265835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53735987265835e-05×40589641000000     		ar = 126385.937430378m²