Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53878 / 20886
↖ ↑ ↗
← N 54.501947°
E115.960693°		 ← 354.71 m → N 54.501947°
E115.966187°		 →
↑
354.67 m
↓
↑
354.67 m
↓
N 54.498758°
E115.960693°		 ← 354.73 m →
125 810 m²		 N 54.498758°
E115.966187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822120666503906 y=0.318702697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822120666503906 × 216)
    floor (0.822120666503906 × 65536)
    floor (53878.5)     		tx = 53878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318702697753906 × 216)
    floor (0.318702697753906 × 65536)
    floor (20886.5)     		ty = 20886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53878 / 20886 ti = "16/53878/20886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53878/20886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53878 ÷ 216
    53878 ÷ 65536     		x = 0.822113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20886 ÷ 216
    20886 ÷ 65536     		y = 0.318695068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822113037109375 × 2 - 1) × π
    0.64422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02389590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318695068359375 × 2 - 1) × π
    0.36260986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13917248257101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02389590} λ = 2.02389590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13917248257101))-π/2
    2×atan(3.1241819801545)-π/2
    2×1.26101737977883-π/2
    2.52203475955766-1.57079632675     		φ = 0.95123843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02389590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.960693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95123843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.501947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53878 KachelY 20886 2.02389590 0.95123843 115.960693 54.501947
    Oben rechts KachelX + 1 53879 KachelY 20886 2.02399178 0.95123843 115.966187 54.501947
    Unten links KachelX 53878 KachelY + 1 20887 2.02389590 0.95118276 115.960693 54.498758
    Unten rechts KachelX + 1 53879 KachelY + 1 20887 2.02399178 0.95118276 115.966187 54.498758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95123843-0.95118276) × R
    5.56699999999521e-05 × 6371000     		dl = 354.673569999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95123843-0.95118276) × R
    5.56699999999521e-05 × 6371000     		dr = 354.673569999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02389590-2.02399178) × cos(0.95123843) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.580675285491588 × 6371000     		do = 354.706357541726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02389590-2.02399178) × cos(0.95118276) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.58072060750139 × 6371000     		du = 354.73404255849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95123843)-sin(0.95118276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580675285491588-0.58072060750139)×R²
    abs(2.02399178-2.02389590)×4.53220098017848e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.53220098017848e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.53220098017848e-05×40589641000000     		ar = 125809.879735501m²