Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53876 / 50099
↖ ↑ ↗
← S 68.502080°
E115.949707°		 ← 223.86 m → S 68.502080°
E115.955200°		 →
↑
223.88 m
↓
↑
223.88 m
↓
S 68.504093°
E115.949707°		 ← 223.84 m →
50 114 m²		 S 68.504093°
E115.955200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822090148925781 y=0.764457702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822090148925781 × 216)
    floor (0.822090148925781 × 65536)
    floor (53876.5)     		tx = 53876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764457702636719 × 216)
    floor (0.764457702636719 × 65536)
    floor (50099.5)     		ty = 50099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53876 / 50099 ti = "16/53876/50099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53876/50099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53876 ÷ 216
    53876 ÷ 65536     		x = 0.82208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50099 ÷ 216
    50099 ÷ 65536     		y = 0.764450073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82208251953125 × 2 - 1) × π
    0.6441650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02370415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764450073242188 × 2 - 1) × π
    -0.528900146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66158881463039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02370415} λ = 2.02370415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66158881463039))-π/2
    2×atan(0.18983712436803)-π/2
    2×0.187604741132294-π/2
    0.375209482264588-1.57079632675     		φ = -1.19558684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02370415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19558684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.502080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53876 KachelY 50099 2.02370415 -1.19558684 115.949707 -68.502080
    Oben rechts KachelX + 1 53877 KachelY 50099 2.02380003 -1.19558684 115.955200 -68.502080
    Unten links KachelX 53876 KachelY + 1 50100 2.02370415 -1.19562198 115.949707 -68.504093
    Unten rechts KachelX + 1 53877 KachelY + 1 50100 2.02380003 -1.19562198 115.955200 -68.504093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19558684--1.19562198) × R
    3.51400000000446e-05 × 6371000     		dl = 223.876940000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19558684--1.19562198) × R
    3.51400000000446e-05 × 6371000     		dr = 223.876940000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02370415-2.02380003) × cos(-1.19558684) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.36646745010708 × 6371000     		do = 223.857184269589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02370415-2.02380003) × cos(-1.19562198) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.366434754539976 × 6371000     		du = 223.837212134034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19558684)-sin(-1.19562198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36646745010708-0.366434754539976)×R²
    abs(2.02380003-2.02370415)×3.2695567104335e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.2695567104335e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.2695567104335e-05×40589641000000     		ar = 50114.225766367m²