Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53875 / 20891
↖ ↑ ↗
← N 54.485996°
E115.944214°		 ← 354.81 m → N 54.485996°
E115.949707°		 →
↑
354.80 m
↓
↑
354.80 m
↓
N 54.482805°
E115.944214°		 ← 354.84 m →
125 891 m²		 N 54.482805°
E115.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822074890136719 y=0.318778991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822074890136719 × 216)
    floor (0.822074890136719 × 65536)
    floor (53875.5)     		tx = 53875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318778991699219 × 216)
    floor (0.318778991699219 × 65536)
    floor (20891.5)     		ty = 20891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53875 / 20891 ti = "16/53875/20891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53875/20891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53875 ÷ 216
    53875 ÷ 65536     		x = 0.822067260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20891 ÷ 216
    20891 ÷ 65536     		y = 0.318771362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822067260742188 × 2 - 1) × π
    0.644134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02360828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318771362304688 × 2 - 1) × π
    0.362457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13869311357481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02360828} λ = 2.02360828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13869311357481))-π/2
    2×atan(3.12268470307751)-π/2
    2×1.26087817375452-π/2
    2.52175634750904-1.57079632675     		φ = 0.95096002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02360828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.944214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95096002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.485996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53875 KachelY 20891 2.02360828 0.95096002 115.944214 54.485996
    Oben rechts KachelX + 1 53876 KachelY 20891 2.02370415 0.95096002 115.949707 54.485996
    Unten links KachelX 53875 KachelY + 1 20892 2.02360828 0.95090433 115.944214 54.482805
    Unten rechts KachelX + 1 53876 KachelY + 1 20892 2.02370415 0.95090433 115.949707 54.482805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95096002-0.95090433) × R
    5.56900000000526e-05 × 6371000     		dl = 354.800990000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95096002-0.95090433) × R
    5.56900000000526e-05 × 6371000     		dr = 354.800990000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02360828-2.02370415) × cos(0.95096002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580901926380211 × 6371000     		do = 354.807792202465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02360828-2.02370415) × cos(0.95090433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580947255666794 × 6371000     		du = 354.835478776333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95096002)-sin(0.95090433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580901926380211-0.580947255666794)×R²
    abs(2.02370415-2.02360828)×4.53292865829624e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53292865829624e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53292865829624e-05×40589641000000     		ar = 125891.067577929m²