Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53874 / 20919
↖ ↑ ↗
← N 54.396550°
E115.938721°		 ← 355.58 m → N 54.396550°
E115.944214°		 →
↑
355.57 m
↓
↑
355.57 m
↓
N 54.393352°
E115.938721°		 ← 355.61 m →
126 438 m²		 N 54.393352°
E115.944214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822059631347656 y=0.319206237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822059631347656 × 216)
    floor (0.822059631347656 × 65536)
    floor (53874.5)     		tx = 53874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319206237792969 × 216)
    floor (0.319206237792969 × 65536)
    floor (20919.5)     		ty = 20919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53874 / 20919 ti = "16/53874/20919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53874/20919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53874 ÷ 216
    53874 ÷ 65536     		x = 0.822052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20919 ÷ 216
    20919 ÷ 65536     		y = 0.319198608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822052001953125 × 2 - 1) × π
    0.64410400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02351241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319198608398438 × 2 - 1) × π
    0.361602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13600864719609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02351241} λ = 2.02351241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13600864719609))-π/2
    2×atan(3.11431320251398)-π/2
    2×1.26009761574439-π/2
    2.52019523148877-1.57079632675     		φ = 0.94939890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02351241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.938721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94939890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.396550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53874 KachelY 20919 2.02351241 0.94939890 115.938721 54.396550
    Oben rechts KachelX + 1 53875 KachelY 20919 2.02360828 0.94939890 115.944214 54.396550
    Unten links KachelX 53874 KachelY + 1 20920 2.02351241 0.94934309 115.938721 54.393352
    Unten rechts KachelX + 1 53875 KachelY + 1 20920 2.02360828 0.94934309 115.944214 54.393352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94939890-0.94934309) × R
    5.58100000001005e-05 × 6371000     		dl = 355.56551000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94939890-0.94934309) × R
    5.58100000001005e-05 × 6371000     		dr = 355.56551000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02351241-2.02360828) × cos(0.94939890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582171928407152 × 6371000     		do = 355.583493908396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02351241-2.02360828) × cos(0.94934309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582217304697639 × 6371000     		du = 355.611209191674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94939890)-sin(0.94934309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582171928407152-0.582217304697639)×R²
    abs(2.02360828-2.02351241)×4.53762904867316e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53762904867316e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53762904867316e-05×40589641000000     		ar = 126438.15369133m²