Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53873 / 20890
↖ ↑ ↗
← N 54.489186°
E115.933227°		 ← 354.82 m → N 54.489186°
E115.938721°		 →
↑
354.80 m
↓
↑
354.80 m
↓
N 54.485996°
E115.933227°		 ← 354.84 m →
125 894 m²		 N 54.485996°
E115.938721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822044372558594 y=0.318763732910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822044372558594 × 216)
    floor (0.822044372558594 × 65536)
    floor (53873.5)     		tx = 53873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318763732910156 × 216)
    floor (0.318763732910156 × 65536)
    floor (20890.5)     		ty = 20890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53873 / 20890 ti = "16/53873/20890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53873/20890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53873 ÷ 216
    53873 ÷ 65536     		x = 0.822036743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20890 ÷ 216
    20890 ÷ 65536     		y = 0.318756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822036743164062 × 2 - 1) × π
    0.644073486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02341653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318756103515625 × 2 - 1) × π
    0.36248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13878898737405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02341653} λ = 2.02341653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13878898737405))-π/2
    2×atan(3.1229841010758)-π/2
    2×1.26090601930528-π/2
    2.52181203861057-1.57079632675     		φ = 0.95101571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02341653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.933227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95101571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.489186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53873 KachelY 20890 2.02341653 0.95101571 115.933227 54.489186
    Oben rechts KachelX + 1 53874 KachelY 20890 2.02351241 0.95101571 115.938721 54.489186
    Unten links KachelX 53873 KachelY + 1 20891 2.02341653 0.95096002 115.933227 54.485996
    Unten rechts KachelX + 1 53874 KachelY + 1 20891 2.02351241 0.95096002 115.938721 54.485996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95101571-0.95096002) × R
    5.56899999999416e-05 × 6371000     		dl = 354.800989999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95101571-0.95096002) × R
    5.56899999999416e-05 × 6371000     		dr = 354.800989999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02341653-2.02351241) × cos(0.95101571) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.580856595292032 × 6371000     		do = 354.817110901666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02341653-2.02351241) × cos(0.95096002) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.580901926380211 × 6371000     		du = 354.84480146397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95101571)-sin(0.95096002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580856595292032-0.580901926380211)×R²
    abs(2.02351241-2.02341653)×4.53310881783908e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.53310881783908e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.53310881783908e-05×40589641000000     		ar = 125894.374568446m²