Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53873 / 10833
↖ ↑ ↗
← N 81.691100°
W 32.033386°		 ← 44.14 m → N 81.691100°
W 32.030639°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
N 81.690703°
W 32.033386°		 ← 44.14 m →
1 949 m²		 N 81.690703°
W 32.030639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411022186279297 y=0.0826530456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411022186279297 × 217)
    floor (0.411022186279297 × 131072)
    floor (53873.5)     		tx = 53873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0826530456542969 × 217)
    floor (0.0826530456542969 × 131072)
    floor (10833.5)     		ty = 10833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53873 / 10833 ti = "17/53873/10833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53873/10833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53873 ÷ 217
    53873 ÷ 131072     		x = 0.411018371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10833 ÷ 217
    10833 ÷ 131072     		y = 0.0826492309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411018371582031 × 2 - 1) × π
    -0.177963256835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55908806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0826492309570312 × 2 - 1) × π
    0.834701538085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.62229221991593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55908806} λ = -0.55908806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62229221991593))-π/2
    2×atan(13.7672449974421)-π/2
    2×1.49828749330585-π/2
    2.99657498661169-1.57079632675     		φ = 1.42577866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55908806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.033386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42577866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.691100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53873 KachelY 10833 -0.55908806 1.42577866 -32.033386 81.691100
    Oben rechts KachelX + 1 53874 KachelY 10833 -0.55904012 1.42577866 -32.030639 81.691100
    Unten links KachelX 53873 KachelY + 1 10834 -0.55908806 1.42577173 -32.033386 81.690703
    Unten rechts KachelX + 1 53874 KachelY + 1 10834 -0.55904012 1.42577173 -32.030639 81.690703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42577866-1.42577173) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dl = 44.1510300004562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42577866-1.42577173) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dr = 44.1510300004562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55908806--0.55904012) × cos(1.42577866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144509911085864 × 6371000     		do = 44.1370465307054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55908806--0.55904012) × cos(1.42577173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144516768340631 × 6371000     		du = 44.1391409128167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42577866)-sin(1.42577173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144509911085864-0.144516768340631)×R²
    abs(-0.55904012--0.55908806)×6.85725476626264e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.85725476626264e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.85725476626264e-06×40589641000000     		ar = 1948.74230001912m²