Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53872 / 14736
↖ ↑ ↗
← N 79.989533°
W 32.036133°		 ← 53.09 m → N 79.989533°
W 32.033386°		 →
↑
53.13 m
↓
↑
53.13 m
↓
N 79.989055°
W 32.036133°		 ← 53.09 m →
2 821 m²		 N 79.989055°
W 32.033386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411014556884766 y=0.112430572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411014556884766 × 217)
    floor (0.411014556884766 × 131072)
    floor (53872.5)     		tx = 53872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112430572509766 × 217)
    floor (0.112430572509766 × 131072)
    floor (14736.5)     		ty = 14736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53872 / 14736 ti = "17/53872/14736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53872/14736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53872 ÷ 217
    53872 ÷ 131072     		x = 0.4110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14736 ÷ 217
    14736 ÷ 131072     		y = 0.1124267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55913600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1124267578125 × 2 - 1) × π
    0.775146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43519450069885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55913600} λ = -0.55913600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43519450069885))-π/2
    2×atan(11.4180393140319)-π/2
    2×1.48343851677262-π/2
    2.96687703354524-1.57079632675     		φ = 1.39608071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55913600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.036133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39608071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.989533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53872 KachelY 14736 -0.55913600 1.39608071 -32.036133 79.989533
    Oben rechts KachelX + 1 53873 KachelY 14736 -0.55908806 1.39608071 -32.033386 79.989533
    Unten links KachelX 53872 KachelY + 1 14737 -0.55913600 1.39607237 -32.036133 79.989055
    Unten rechts KachelX + 1 53873 KachelY + 1 14737 -0.55908806 1.39607237 -32.033386 79.989055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39608071-1.39607237) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dl = 53.1341399996181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39608071-1.39607237) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dr = 53.1341399996181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55913600--0.55908806) × cos(1.39608071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173828090867693 × 6371000     		do = 53.0915732860175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55913600--0.55908806) × cos(1.39607237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173836303893591 × 6371000     		du = 53.0940817555302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39608071)-sin(1.39607237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173828090867693-0.173836303893591)×R²
    abs(-0.55908806--0.55913600)×8.21302589884554e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.21302589884554e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.21302589884554e-06×40589641000000     		ar = 2821.04173032647m²