Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53870 / 13826
↖ ↑ ↗
← N 80.414793°
W 32.041626°		 ← 50.86 m → N 80.414793°
W 32.038879°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.414335°
W 32.041626°		 ← 50.86 m →
2 586 m²		 N 80.414335°
W 32.038879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410999298095703 y=0.105487823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410999298095703 × 217)
    floor (0.410999298095703 × 131072)
    floor (53870.5)     		tx = 53870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105487823486328 × 217)
    floor (0.105487823486328 × 131072)
    floor (13826.5)     		ty = 13826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53870 / 13826 ti = "17/53870/13826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53870/13826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53870 ÷ 217
    53870 ÷ 131072     		x = 0.410995483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13826 ÷ 217
    13826 ÷ 131072     		y = 0.105484008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410995483398438 × 2 - 1) × π
    -0.178009033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55923187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105484008789062 × 2 - 1) × π
    0.789031982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4788170793531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55923187} λ = -0.55923187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4788170793531))-π/2
    2×atan(11.927147201039)-π/2
    2×1.48714961421019-π/2
    2.97429922842038-1.57079632675     		φ = 1.40350290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55923187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.041626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40350290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.414793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53870 KachelY 13826 -0.55923187 1.40350290 -32.041626 80.414793
    Oben rechts KachelX + 1 53871 KachelY 13826 -0.55918393 1.40350290 -32.038879 80.414793
    Unten links KachelX 53870 KachelY + 1 13827 -0.55923187 1.40349492 -32.041626 80.414335
    Unten rechts KachelX + 1 53871 KachelY + 1 13827 -0.55918393 1.40349492 -32.038879 80.414335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40350290-1.40349492) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dl = 50.8405800008254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40350290-1.40349492) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dr = 50.8405800008254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55923187--0.55918393) × cos(1.40350290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166514175326873 × 6371000     		do = 50.8577152196665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55923187--0.55918393) × cos(1.40349492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166522043913276 × 6371000     		du = 50.8601184884915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40350290)-sin(1.40349492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166514175326873-0.166522043913276)×R²
    abs(-0.55918393--0.55923187)×7.86858640336452e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.86858640336452e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.86858640336452e-06×40589641000000     		ar = 2585.69683100958m²