Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53866 / 11762
↖ ↑ ↗
← N 81.314130°
W 32.052612°		 ← 46.12 m → N 81.314130°
W 32.049866°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.313715°
W 32.052612°		 ← 46.13 m →
2 128 m²		 N 81.313715°
W 32.049866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410968780517578 y=0.0897407531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410968780517578 × 217)
    floor (0.410968780517578 × 131072)
    floor (53866.5)     		tx = 53866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0897407531738281 × 217)
    floor (0.0897407531738281 × 131072)
    floor (11762.5)     		ty = 11762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53866 / 11762 ti = "17/53866/11762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53866/11762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53866 ÷ 217
    53866 ÷ 131072     		x = 0.410964965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11762 ÷ 217
    11762 ÷ 131072     		y = 0.0897369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410964965820312 × 2 - 1) × π
    -0.178070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55942362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0897369384765625 × 2 - 1) × π
    0.820526123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5777588401689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55942362} λ = -0.55942362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5777588401689))-π/2
    2×atan(13.1675943822591)-π/2
    2×1.49499780971762-π/2
    2.98999561943524-1.57079632675     		φ = 1.41919929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55942362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.052612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41919929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.314130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53866 KachelY 11762 -0.55942362 1.41919929 -32.052612 81.314130
    Oben rechts KachelX + 1 53867 KachelY 11762 -0.55937568 1.41919929 -32.049866 81.314130
    Unten links KachelX 53866 KachelY + 1 11763 -0.55942362 1.41919205 -32.052612 81.313715
    Unten rechts KachelX + 1 53867 KachelY + 1 11763 -0.55937568 1.41919205 -32.049866 81.313715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41919929-1.41919205) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41919929-1.41919205) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55942362--0.55937568) × cos(1.41919929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151017045022615 × 6371000     		do = 46.1244927286154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55942362--0.55937568) × cos(1.41919205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151024201984248 × 6371000     		du = 46.1266786489181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41919929)-sin(1.41919205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151017045022615-0.151024201984248)×R²
    abs(-0.55937568--0.55942362)×7.15696163236523e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.15696163236523e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.15696163236523e-06×40589641000000     		ar = 2127.59061057102m²