Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53866 / 11750
↖ ↑ ↗
← N 81.319106°
W 32.052612°		 ← 46.10 m → N 81.319106°
W 32.049866°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.318691°
W 32.052612°		 ← 46.10 m →
2 126 m²		 N 81.318691°
W 32.049866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410968780517578 y=0.0896492004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410968780517578 × 217)
    floor (0.410968780517578 × 131072)
    floor (53866.5)     		tx = 53866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0896492004394531 × 217)
    floor (0.0896492004394531 × 131072)
    floor (11750.5)     		ty = 11750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53866 / 11750 ti = "17/53866/11750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53866/11750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53866 ÷ 217
    53866 ÷ 131072     		x = 0.410964965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11750 ÷ 217
    11750 ÷ 131072     		y = 0.0896453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410964965820312 × 2 - 1) × π
    -0.178070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55942362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0896453857421875 × 2 - 1) × π
    0.820709228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57833408296434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55942362} λ = -0.55942362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57833408296434))-π/2
    2×atan(13.1751711250852)-π/2
    2×1.49504123310296-π/2
    2.99008246620592-1.57079632675     		φ = 1.41928614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55942362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.052612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41928614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.319106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53866 KachelY 11750 -0.55942362 1.41928614 -32.052612 81.319106
    Oben rechts KachelX + 1 53867 KachelY 11750 -0.55937568 1.41928614 -32.049866 81.319106
    Unten links KachelX 53866 KachelY + 1 11751 -0.55942362 1.41927890 -32.052612 81.318691
    Unten rechts KachelX + 1 53867 KachelY + 1 11751 -0.55937568 1.41927890 -32.049866 81.318691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41928614-1.41927890) × R
    7.24000000018599e-06 × 6371000     		dl = 46.1260400011849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41928614-1.41927890) × R
    7.24000000018599e-06 × 6371000     		dr = 46.1260400011849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55942362--0.55937568) × cos(1.41928614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150931190522018 × 6371000     		do = 46.0982705542381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55942362--0.55937568) × cos(1.41927890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150938347578584 × 6371000     		du = 46.1004565035361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41928614)-sin(1.41927890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150931190522018-0.150938347578584)×R²
    abs(-0.55937568--0.55942362)×7.1570565664536e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.1570565664536e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.1570565664536e-06×40589641000000     		ar = 2126.38108598621m²