Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53863 / 20843
↖ ↑ ↗
← N 54.638876°
E115.878296°		 ← 353.52 m → N 54.638876°
E115.883789°		 →
↑
353.46 m
↓
↑
353.46 m
↓
N 54.635697°
E115.878296°		 ← 353.54 m →
124 960 m²		 N 54.635697°
E115.883789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821891784667969 y=0.318046569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821891784667969 × 216)
    floor (0.821891784667969 × 65536)
    floor (53863.5)     		tx = 53863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318046569824219 × 216)
    floor (0.318046569824219 × 65536)
    floor (20843.5)     		ty = 20843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53863 / 20843 ti = "16/53863/20843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53863/20843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53863 ÷ 216
    53863 ÷ 65536     		x = 0.821884155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20843 ÷ 216
    20843 ÷ 65536     		y = 0.318038940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821884155273438 × 2 - 1) × π
    0.643768310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02245779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318038940429688 × 2 - 1) × π
    0.363922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14329505593834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02245779} λ = 2.02245779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14329505593834))-π/2
    2×atan(3.13708823479225)-π/2
    2×1.26221231045342-π/2
    2.52442462090684-1.57079632675     		φ = 0.95362829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02245779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.878296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95362829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.638876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53863 KachelY 20843 2.02245779 0.95362829 115.878296 54.638876
    Oben rechts KachelX + 1 53864 KachelY 20843 2.02255367 0.95362829 115.883789 54.638876
    Unten links KachelX 53863 KachelY + 1 20844 2.02245779 0.95357281 115.878296 54.635697
    Unten rechts KachelX + 1 53864 KachelY + 1 20844 2.02255367 0.95357281 115.883789 54.635697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95362829-0.95357281) × R
    5.54799999999966e-05 × 6371000     		dl = 353.463079999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95362829-0.95357281) × R
    5.54799999999966e-05 × 6371000     		dr = 353.463079999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02245779-2.02255367) × cos(0.95362829) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.578727959821496 × 6371000     		do = 353.516830775747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02245779-2.02255367) × cos(0.95357281) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.578773204017074 × 6371000     		du = 353.544468259577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95362829)-sin(0.95357281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578727959821496-0.578773204017074)×R²
    abs(2.02255367-2.02245779)×4.52441955779426e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.52441955779426e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.52441955779426e-05×40589641000000     		ar = 124960.03228497m²