Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53863 / 11759
↖ ↑ ↗
← N 81.315374°
W 32.060852°		 ← 46.12 m → N 81.315374°
W 32.058105°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.314959°
W 32.060852°		 ← 46.12 m →
2 127 m²		 N 81.314959°
W 32.058105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410945892333984 y=0.0897178649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410945892333984 × 217)
    floor (0.410945892333984 × 131072)
    floor (53863.5)     		tx = 53863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0897178649902344 × 217)
    floor (0.0897178649902344 × 131072)
    floor (11759.5)     		ty = 11759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53863 / 11759 ti = "17/53863/11759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53863/11759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53863 ÷ 217
    53863 ÷ 131072     		x = 0.410942077636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11759 ÷ 217
    11759 ÷ 131072     		y = 0.0897140502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410942077636719 × 2 - 1) × π
    -0.178115844726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.55956743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0897140502929688 × 2 - 1) × π
    0.820571899414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.57790265086776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55956743} λ = -0.55956743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57790265086776))-π/2
    2×atan(13.1694881593789)-π/2
    2×1.495008667879-π/2
    2.990017335758-1.57079632675     		φ = 1.41922101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55956743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.060852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41922101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.315374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53863 KachelY 11759 -0.55956743 1.41922101 -32.060852 81.315374
    Oben rechts KachelX + 1 53864 KachelY 11759 -0.55951949 1.41922101 -32.058105 81.315374
    Unten links KachelX 53863 KachelY + 1 11760 -0.55956743 1.41921377 -32.060852 81.314959
    Unten rechts KachelX + 1 53864 KachelY + 1 11760 -0.55951949 1.41921377 -32.058105 81.314959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41922101-1.41921377) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41922101-1.41921377) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55956743--0.55951949) × cos(1.41922101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150995574090224 × 6371000     		do = 46.1179349532012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55956743--0.55951949) × cos(1.41921377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151002731075603 × 6371000     		du = 46.1201208807568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41922101)-sin(1.41921377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150995574090224-0.151002731075603)×R²
    abs(-0.55951949--0.55956743)×7.15698537909204e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.15698537909204e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.15698537909204e-06×40589641000000     		ar = 2127.28812659231m²