Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53863 / 11755
↖ ↑ ↗
← N 81.317033°
W 32.060852°		 ← 46.11 m → N 81.317033°
W 32.058105°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.316618°
W 32.060852°		 ← 46.11 m →
2 127 m²		 N 81.316618°
W 32.058105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410945892333984 y=0.0896873474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410945892333984 × 217)
    floor (0.410945892333984 × 131072)
    floor (53863.5)     		tx = 53863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0896873474121094 × 217)
    floor (0.0896873474121094 × 131072)
    floor (11755.5)     		ty = 11755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53863 / 11755 ti = "17/53863/11755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53863/11755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53863 ÷ 217
    53863 ÷ 131072     		x = 0.410942077636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11755 ÷ 217
    11755 ÷ 131072     		y = 0.0896835327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410942077636719 × 2 - 1) × π
    -0.178115844726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.55956743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0896835327148438 × 2 - 1) × π
    0.820632934570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.57809439846624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55956743} λ = -0.55956743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57809439846624))-π/2
    2×atan(13.1720136192244)-π/2
    2×1.49502314302653-π/2
    2.99004628605307-1.57079632675     		φ = 1.41924996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55956743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.060852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41924996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.317033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53863 KachelY 11755 -0.55956743 1.41924996 -32.060852 81.317033
    Oben rechts KachelX + 1 53864 KachelY 11755 -0.55951949 1.41924996 -32.058105 81.317033
    Unten links KachelX 53863 KachelY + 1 11756 -0.55956743 1.41924272 -32.060852 81.316618
    Unten rechts KachelX + 1 53864 KachelY + 1 11756 -0.55951949 1.41924272 -32.058105 81.316618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41924996-1.41924272) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41924996-1.41924272) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55956743--0.55951949) × cos(1.41924996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150966955954951 × 6371000     		do = 46.1091942380581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55956743--0.55951949) × cos(1.41924272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150974112971976 × 6371000     		du = 46.1113801752792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41924996)-sin(1.41924272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150966955954951-0.150974112971976)×R²
    abs(-0.55951949--0.55956743)×7.15701702519445e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.15701702519445e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.15701702519445e-06×40589641000000     		ar = 2126.88495209077m²