Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53862 / 11752
↖ ↑ ↗
← N 81.318277°
W 32.063599°		 ← 46.10 m → N 81.318277°
W 32.060852°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.317862°
W 32.063599°		 ← 46.10 m →
2 127 m²		 N 81.317862°
W 32.060852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410938262939453 y=0.0896644592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410938262939453 × 217)
    floor (0.410938262939453 × 131072)
    floor (53862.5)     		tx = 53862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0896644592285156 × 217)
    floor (0.0896644592285156 × 131072)
    floor (11752.5)     		ty = 11752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53862 / 11752 ti = "17/53862/11752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53862/11752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53862 ÷ 217
    53862 ÷ 131072     		x = 0.410934448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11752 ÷ 217
    11752 ÷ 131072     		y = 0.08966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410934448242188 × 2 - 1) × π
    -0.178131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55961537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08966064453125 × 2 - 1) × π
    0.8206787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5782382091651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55961537} λ = -0.55961537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5782382091651))-π/2
    2×atan(13.1739080319235)-π/2
    2×1.49503399758673-π/2
    2.99006799517346-1.57079632675     		φ = 1.41927167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55961537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.063599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41927167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.318277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53862 KachelY 11752 -0.55961537 1.41927167 -32.063599 81.318277
    Oben rechts KachelX + 1 53863 KachelY 11752 -0.55956743 1.41927167 -32.060852 81.318277
    Unten links KachelX 53862 KachelY + 1 11753 -0.55961537 1.41926443 -32.063599 81.317862
    Unten rechts KachelX + 1 53863 KachelY + 1 11753 -0.55956743 1.41926443 -32.060852 81.317862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41927167-1.41926443) × R
    7.24000000018599e-06 × 6371000     		dl = 46.1260400011849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41927167-1.41926443) × R
    7.24000000018599e-06 × 6371000     		dr = 46.1260400011849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55961537--0.55956743) × cos(1.41927167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150945494741818 × 6371000     		do = 46.1026394311556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55961537--0.55956743) × cos(1.41926443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150952651782571 × 6371000     		du = 46.1048253756238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41927167)-sin(1.41926443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150945494741818-0.150952651782571)×R²
    abs(-0.55956743--0.55961537)×7.15704075332502e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.15704075332502e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.15704075332502e-06×40589641000000     		ar = 2126.58260507804m²