Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53861 / 13829
↖ ↑ ↗
← N 80.413420°
W 32.066345°		 ← 50.85 m → N 80.413420°
W 32.063599°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.412963°
W 32.066345°		 ← 50.86 m →
2 586 m²		 N 80.412963°
W 32.063599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410930633544922 y=0.105510711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410930633544922 × 217)
    floor (0.410930633544922 × 131072)
    floor (53861.5)     		tx = 53861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105510711669922 × 217)
    floor (0.105510711669922 × 131072)
    floor (13829.5)     		ty = 13829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53861 / 13829 ti = "17/53861/13829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53861/13829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53861 ÷ 217
    53861 ÷ 131072     		x = 0.410926818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13829 ÷ 217
    13829 ÷ 131072     		y = 0.105506896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410926818847656 × 2 - 1) × π
    -0.178146362304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.55966330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105506896972656 × 2 - 1) × π
    0.788986206054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.47867326865424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55966330} λ = -0.55966330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47867326865424))-π/2
    2×atan(11.9254320729944)-π/2
    2×1.48713764010138-π/2
    2.97427528020276-1.57079632675     		φ = 1.40347895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55966330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.066345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40347895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.413420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53861 KachelY 13829 -0.55966330 1.40347895 -32.066345 80.413420
    Oben rechts KachelX + 1 53862 KachelY 13829 -0.55961537 1.40347895 -32.063599 80.413420
    Unten links KachelX 53861 KachelY + 1 13830 -0.55966330 1.40347097 -32.066345 80.412963
    Unten rechts KachelX + 1 53862 KachelY + 1 13830 -0.55961537 1.40347097 -32.063599 80.412963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40347895-1.40347097) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dl = 50.8405799994107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40347895-1.40347097) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dr = 50.8405799994107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55966330--0.55961537) × cos(1.40347895) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16653779091462 × 6371000     		do = 50.8543179054351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55966330--0.55961537) × cos(1.40347097) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166545659469196 × 6371000     		du = 50.8567206632335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40347895)-sin(1.40347097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16653779091462-0.166545659469196)×R²
    abs(-0.55961537--0.55966330)×7.86855457576841e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.86855457576841e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.86855457576841e-06×40589641000000     		ar = 2585.52409657483m²