Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53860 / 21279
↖ ↑ ↗
← N 53.229057°
E115.861816°		 ← 365.67 m → N 53.229057°
E115.867310°		 →
↑
365.63 m
↓
↑
365.63 m
↓
N 53.225769°
E115.861816°		 ← 365.69 m →
133 704 m²		 N 53.225769°
E115.867310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821846008300781 y=0.324699401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821846008300781 × 216)
    floor (0.821846008300781 × 65536)
    floor (53860.5)     		tx = 53860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324699401855469 × 216)
    floor (0.324699401855469 × 65536)
    floor (21279.5)     		ty = 21279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53860 / 21279 ti = "16/53860/21279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53860/21279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53860 ÷ 216
    53860 ÷ 65536     		x = 0.82183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21279 ÷ 216
    21279 ÷ 65536     		y = 0.324691772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82183837890625 × 2 - 1) × π
    0.6436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02217017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324691772460938 × 2 - 1) × π
    0.350616455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10149407946965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02217017} λ = 2.02217017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10149407946965))-π/2
    2×atan(3.00865784145681)-π/2
    2×1.24990931340838-π/2
    2.49981862681677-1.57079632675     		φ = 0.92902230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02217017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.861816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92902230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.229057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53860 KachelY 21279 2.02217017 0.92902230 115.861816 53.229057
    Oben rechts KachelX + 1 53861 KachelY 21279 2.02226605 0.92902230 115.867310 53.229057
    Unten links KachelX 53860 KachelY + 1 21280 2.02217017 0.92896491 115.861816 53.225769
    Unten rechts KachelX + 1 53861 KachelY + 1 21280 2.02226605 0.92896491 115.867310 53.225769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92902230-0.92896491) × R
    5.7389999999935e-05 × 6371000     		dl = 365.631689999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92902230-0.92896491) × R
    5.7389999999935e-05 × 6371000     		dr = 365.631689999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02217017-2.02226605) × cos(0.92902230) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.598617440244718 × 6371000     		do = 365.666349327058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02217017-2.02226605) × cos(0.92896491) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.598663410660725 × 6371000     		du = 365.694430423712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92902230)-sin(0.92896491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598617440244718-0.598663410660725)×R²
    abs(2.02226605-2.02217017)×4.59704160065133e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.59704160065133e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.59704160065133e-05×40589641000000     		ar = 133704.338986546m²