Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53860 / 13914
↖ ↑ ↗
← N 80.374463°
W 32.069092°		 ← 51.07 m → N 80.374463°
W 32.066345°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.374003°
W 32.069092°		 ← 51.07 m →
2 609 m²		 N 80.374003°
W 32.066345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410923004150391 y=0.106159210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410923004150391 × 217)
    floor (0.410923004150391 × 131072)
    floor (53860.5)     		tx = 53860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106159210205078 × 217)
    floor (0.106159210205078 × 131072)
    floor (13914.5)     		ty = 13914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53860 / 13914 ti = "17/53860/13914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53860/13914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53860 ÷ 217
    53860 ÷ 131072     		x = 0.410919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13914 ÷ 217
    13914 ÷ 131072     		y = 0.106155395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410919189453125 × 2 - 1) × π
    -0.17816162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55971124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106155395507812 × 2 - 1) × π
    0.787689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47459863218654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55971124} λ = -0.55971124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47459863218654))-π/2
    2×atan(11.8769391352157)-π/2
    2×1.4867976671531-π/2
    2.9735953343062-1.57079632675     		φ = 1.40279901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55971124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.069092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40279901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.374463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53860 KachelY 13914 -0.55971124 1.40279901 -32.069092 80.374463
    Oben rechts KachelX + 1 53861 KachelY 13914 -0.55966330 1.40279901 -32.066345 80.374463
    Unten links KachelX 53860 KachelY + 1 13915 -0.55971124 1.40279099 -32.069092 80.374003
    Unten rechts KachelX + 1 53861 KachelY + 1 13915 -0.55966330 1.40279099 -32.066345 80.374003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40279901-1.40279099) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dl = 51.0954200006912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40279901-1.40279099) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dr = 51.0954200006912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55971124--0.55966330) × cos(1.40279901) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.167208197053414 × 6371000     		do = 51.0696873191895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55971124--0.55966330) × cos(1.40279099) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.167216104139339 × 6371000     		du = 51.0721023467596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40279901)-sin(1.40279099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167208197053414-0.167216104139339)×R²
    abs(-0.55966330--0.55971124)×7.90708592571243e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.90708592571243e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.90708592571243e-06×40589641000000     		ar = 2609.48882125645m²