Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53859 / 13916
↖ ↑ ↗
← N 80.373544°
W 32.071839°		 ← 51.07 m → N 80.373544°
W 32.069092°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.373085°
W 32.071839°		 ← 51.08 m →
2 610 m²		 N 80.373085°
W 32.069092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410915374755859 y=0.106174468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410915374755859 × 217)
    floor (0.410915374755859 × 131072)
    floor (53859.5)     		tx = 53859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106174468994141 × 217)
    floor (0.106174468994141 × 131072)
    floor (13916.5)     		ty = 13916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53859 / 13916 ti = "17/53859/13916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53859/13916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53859 ÷ 217
    53859 ÷ 131072     		x = 0.410911560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13916 ÷ 217
    13916 ÷ 131072     		y = 0.106170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410911560058594 × 2 - 1) × π
    -0.178176879882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.55975918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106170654296875 × 2 - 1) × π
    0.78765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4745027583873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55975918} λ = -0.55975918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4745027583873))-π/2
    2×atan(11.8758005025208)-π/2
    2×1.48678965133159-π/2
    2.97357930266317-1.57079632675     		φ = 1.40278298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55975918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.071839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40278298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.373544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53859 KachelY 13916 -0.55975918 1.40278298 -32.071839 80.373544
    Oben rechts KachelX + 1 53860 KachelY 13916 -0.55971124 1.40278298 -32.069092 80.373544
    Unten links KachelX 53859 KachelY + 1 13917 -0.55975918 1.40277496 -32.071839 80.373085
    Unten rechts KachelX + 1 53860 KachelY + 1 13917 -0.55971124 1.40277496 -32.069092 80.373085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40278298-1.40277496) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dl = 51.0954200006912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40278298-1.40277496) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dr = 51.0954200006912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55975918--0.55971124) × cos(1.40278298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16722400135532 × 6371000     		do = 51.0745143596762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55975918--0.55971124) × cos(1.40277496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167231908419748 × 6371000     		du = 51.0769293806803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40278298)-sin(1.40277496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16722400135532-0.167231908419748)×R²
    abs(-0.55971124--0.55975918)×7.90706442779787e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90706442779787e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90706442779787e-06×40589641000000     		ar = 2609.73546091299m²