Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53859 / 13901
↖ ↑ ↗
← N 80.380431°
W 32.071839°		 ← 51.04 m → N 80.380431°
W 32.069092°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.379972°
W 32.071839°		 ← 51.04 m →
2 605 m²		 N 80.379972°
W 32.069092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410915374755859 y=0.106060028076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410915374755859 × 217)
    floor (0.410915374755859 × 131072)
    floor (53859.5)     		tx = 53859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106060028076172 × 217)
    floor (0.106060028076172 × 131072)
    floor (13901.5)     		ty = 13901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53859 / 13901 ti = "17/53859/13901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53859/13901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53859 ÷ 217
    53859 ÷ 131072     		x = 0.410911560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13901 ÷ 217
    13901 ÷ 131072     		y = 0.106056213378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410911560058594 × 2 - 1) × π
    -0.178176879882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.55975918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106056213378906 × 2 - 1) × π
    0.787887573242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.4752218118816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55975918} λ = -0.55975918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4752218118816))-π/2
    2×atan(11.8843429092254)-π/2
    2×1.48684975152827-π/2
    2.97369950305654-1.57079632675     		φ = 1.40290318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55975918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.071839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40290318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.380431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53859 KachelY 13901 -0.55975918 1.40290318 -32.071839 80.380431
    Oben rechts KachelX + 1 53860 KachelY 13901 -0.55971124 1.40290318 -32.069092 80.380431
    Unten links KachelX 53859 KachelY + 1 13902 -0.55975918 1.40289517 -32.071839 80.379972
    Unten rechts KachelX + 1 53860 KachelY + 1 13902 -0.55971124 1.40289517 -32.069092 80.379972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40290318-1.40289517) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dl = 51.0317099996638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40290318-1.40289517) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dr = 51.0317099996638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55975918--0.55971124) × cos(1.40290318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167105492692383 × 6371000     		do = 51.0383187636021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55975918--0.55971124) × cos(1.40289517) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167113390058585 × 6371000     		du = 51.0407308225185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40290318)-sin(1.40289517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167105492692383-0.167113390058585)×R²
    abs(-0.55971124--0.55975918)×7.89736620213088e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.89736620213088e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.89736620213088e-06×40589641000000     		ar = 2604.63422779936m²