Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53858 / 10866
↖ ↑ ↗
← N 81.677992°
W 32.074585°		 ← 44.20 m → N 81.677992°
W 32.071839°		 →
↑
44.21 m
↓
↑
44.21 m
↓
N 81.677594°
W 32.074585°		 ← 44.20 m →
1 954 m²		 N 81.677594°
W 32.071839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410907745361328 y=0.0829048156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410907745361328 × 217)
    floor (0.410907745361328 × 131072)
    floor (53858.5)     		tx = 53858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0829048156738281 × 217)
    floor (0.0829048156738281 × 131072)
    floor (10866.5)     		ty = 10866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53858 / 10866 ti = "17/53858/10866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53858/10866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53858 ÷ 217
    53858 ÷ 131072     		x = 0.410903930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10866 ÷ 217
    10866 ÷ 131072     		y = 0.0829010009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410903930664062 × 2 - 1) × π
    -0.178192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55980711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0829010009765625 × 2 - 1) × π
    0.834197998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62071030222847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55980711} λ = -0.55980711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62071030222847))-π/2
    2×atan(13.7454835660078)-π/2
    2×1.49817310240911-π/2
    2.99634620481821-1.57079632675     		φ = 1.42554988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55980711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.074585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42554988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.677992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53858 KachelY 10866 -0.55980711 1.42554988 -32.074585 81.677992
    Oben rechts KachelX + 1 53859 KachelY 10866 -0.55975918 1.42554988 -32.071839 81.677992
    Unten links KachelX 53858 KachelY + 1 10867 -0.55980711 1.42554294 -32.074585 81.677594
    Unten rechts KachelX + 1 53859 KachelY + 1 10867 -0.55975918 1.42554294 -32.071839 81.677594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42554988-1.42554294) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dl = 44.214740000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42554988-1.42554294) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dr = 44.214740000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55980711--0.55975918) × cos(1.42554988) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144736285879144 × 6371000     		do = 44.1969660707427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55980711--0.55975918) × cos(1.42554294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144743152799305 × 6371000     		du = 44.1990629674231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42554988)-sin(1.42554294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144736285879144-0.144743152799305)×R²
    abs(-0.55975918--0.55980711)×6.86692016138579e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.86692016138579e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.86692016138579e-06×40589641000000     		ar = 1954.20372034443m²