Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53856 / 11746
↖ ↑ ↗
← N 81.320764°
W 32.080078°		 ← 46.09 m → N 81.320764°
W 32.077332°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.320349°
W 32.080078°		 ← 46.09 m →
2 126 m²		 N 81.320349°
W 32.077332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410892486572266 y=0.0896186828613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410892486572266 × 217)
    floor (0.410892486572266 × 131072)
    floor (53856.5)     		tx = 53856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0896186828613281 × 217)
    floor (0.0896186828613281 × 131072)
    floor (11746.5)     		ty = 11746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53856 / 11746 ti = "17/53856/11746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53856/11746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53856 ÷ 217
    53856 ÷ 131072     		x = 0.410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11746 ÷ 217
    11746 ÷ 131072     		y = 0.0896148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.17822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55990299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0896148681640625 × 2 - 1) × π
    0.820770263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57852583056282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55990299} λ = -0.55990299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57852583056282))-π/2
    2×atan(13.1776976747302)-π/2
    2×1.49505570207832-π/2
    2.99011140415665-1.57079632675     		φ = 1.41931508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55990299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.080078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41931508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.320764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53856 KachelY 11746 -0.55990299 1.41931508 -32.080078 81.320764
    Oben rechts KachelX + 1 53857 KachelY 11746 -0.55985505 1.41931508 -32.077332 81.320764
    Unten links KachelX 53856 KachelY + 1 11747 -0.55990299 1.41930784 -32.080078 81.320349
    Unten rechts KachelX + 1 53857 KachelY + 1 11747 -0.55985505 1.41930784 -32.077332 81.320349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41931508-1.41930784) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41931508-1.41930784) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55990299--0.55985505) × cos(1.41931508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150902581987615 × 6371000     		do = 46.0895327714477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55990299--0.55985505) × cos(1.41930784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150909739075803 × 6371000     		du = 46.0917187304038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41931508)-sin(1.41930784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150902581987615-0.150909739075803)×R²
    abs(-0.55985505--0.55990299)×7.15708818790906e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.15708818790906e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.15708818790906e-06×40589641000000     		ar = 2125.97804693841m²