Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53854 / 12493
↖ ↑ ↗
← N 81.005614°
W 32.085571°		 ← 47.75 m → N 81.005614°
W 32.082824°		 →
↑
47.72 m
↓
↑
47.72 m
↓
N 81.005184°
W 32.085571°		 ← 47.75 m →
2 279 m²		 N 81.005184°
W 32.082824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410877227783203 y=0.0953178405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410877227783203 × 217)
    floor (0.410877227783203 × 131072)
    floor (53854.5)     		tx = 53854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0953178405761719 × 217)
    floor (0.0953178405761719 × 131072)
    floor (12493.5)     		ty = 12493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53854 / 12493 ti = "17/53854/12493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53854/12493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53854 ÷ 217
    53854 ÷ 131072     		x = 0.410873413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12493 ÷ 217
    12493 ÷ 131072     		y = 0.0953140258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410873413085938 × 2 - 1) × π
    -0.178253173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55999886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0953140258789062 × 2 - 1) × π
    0.809371948242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.54271696654664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55999886} λ = -0.55999886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54271696654664))-π/2
    2×atan(12.7141680551749)-π/2
    2×1.4923055007762-π/2
    2.98461100155241-1.57079632675     		φ = 1.41381467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55999886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.085571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41381467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.005614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53854 KachelY 12493 -0.55999886 1.41381467 -32.085571 81.005614
    Oben rechts KachelX + 1 53855 KachelY 12493 -0.55995092 1.41381467 -32.082824 81.005614
    Unten links KachelX 53854 KachelY + 1 12494 -0.55999886 1.41380718 -32.085571 81.005184
    Unten rechts KachelX + 1 53855 KachelY + 1 12494 -0.55995092 1.41380718 -32.082824 81.005184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41381467-1.41380718) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dl = 47.7187899999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41381467-1.41380718) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dr = 47.7187899999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55999886--0.55995092) × cos(1.41381467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156337694650685 × 6371000     		do = 47.7495560785482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55999886--0.55995092) × cos(1.41380718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156345092546733 × 6371000     		du = 47.7518155864231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41381467)-sin(1.41380718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156337694650685-0.156345092546733)×R²
    abs(-0.55995092--0.55999886)×7.39789604797814e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.39789604797814e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.39789604797814e-06×40589641000000     		ar = 2278.60494971153m²