Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53853 / 13908
↖ ↑ ↗
← N 80.377218°
W 32.088318°		 ← 51.06 m → N 80.377218°
W 32.085571°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.376759°
W 32.088318°		 ← 51.06 m →
2 605 m²		 N 80.376759°
W 32.085571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410869598388672 y=0.106113433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410869598388672 × 217)
    floor (0.410869598388672 × 131072)
    floor (53853.5)     		tx = 53853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106113433837891 × 217)
    floor (0.106113433837891 × 131072)
    floor (13908.5)     		ty = 13908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53853 / 13908 ti = "17/53853/13908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53853/13908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53853 ÷ 217
    53853 ÷ 131072     		x = 0.410865783691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13908 ÷ 217
    13908 ÷ 131072     		y = 0.106109619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410865783691406 × 2 - 1) × π
    -0.178268432617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.56004680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106109619140625 × 2 - 1) × π
    0.78778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47488625358426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56004680} λ = -0.56004680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47488625358426))-π/2
    2×atan(11.8803556883637)-π/2
    2×1.486821710072-π/2
    2.97364342014401-1.57079632675     		φ = 1.40284709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56004680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.088318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40284709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.377218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53853 KachelY 13908 -0.56004680 1.40284709 -32.088318 80.377218
    Oben rechts KachelX + 1 53854 KachelY 13908 -0.55999886 1.40284709 -32.085571 80.377218
    Unten links KachelX 53853 KachelY + 1 13909 -0.56004680 1.40283908 -32.088318 80.376759
    Unten rechts KachelX + 1 53854 KachelY + 1 13909 -0.55999886 1.40283908 -32.085571 80.376759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40284709-1.40283908) × R
    8.01000000016927e-06 × 6371000     		dl = 51.0317100010784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40284709-1.40283908) × R
    8.01000000016927e-06 × 6371000     		dr = 51.0317100010784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56004680--0.55999886) × cos(1.40284709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167160793749211 × 6371000     		do = 51.0552091298067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56004680--0.55999886) × cos(1.40283908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167168691040322 × 6371000     		du = 51.0576211657882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40284709)-sin(1.40283908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167160793749211-0.167168691040322)×R²
    abs(-0.55999886--0.56004680)×7.89729111083659e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.89729111083659e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.89729111083659e-06×40589641000000     		ar = 2605.49617159853m²