Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53852 / 13900
↖ ↑ ↗
← N 80.380890°
W 32.091065°		 ← 51.04 m → N 80.380890°
W 32.088318°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.380431°
W 32.091065°		 ← 51.04 m →
2 605 m²		 N 80.380431°
W 32.088318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410861968994141 y=0.106052398681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410861968994141 × 217)
    floor (0.410861968994141 × 131072)
    floor (53852.5)     		tx = 53852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106052398681641 × 217)
    floor (0.106052398681641 × 131072)
    floor (13900.5)     		ty = 13900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53852 / 13900 ti = "17/53852/13900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53852/13900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53852 ÷ 217
    53852 ÷ 131072     		x = 0.410858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13900 ÷ 217
    13900 ÷ 131072     		y = 0.106048583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410858154296875 × 2 - 1) × π
    -0.17828369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56009474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106048583984375 × 2 - 1) × π
    0.78790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47526974878122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56009474} λ = -0.56009474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47526974878122))-π/2
    2×atan(11.8849126214335)-π/2
    2×1.48685375669333-π/2
    2.97370751338665-1.57079632675     		φ = 1.40291119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56009474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.091065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40291119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.380890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53852 KachelY 13900 -0.56009474 1.40291119 -32.091065 80.380890
    Oben rechts KachelX + 1 53853 KachelY 13900 -0.56004680 1.40291119 -32.088318 80.380890
    Unten links KachelX 53852 KachelY + 1 13901 -0.56009474 1.40290318 -32.091065 80.380431
    Unten rechts KachelX + 1 53853 KachelY + 1 13901 -0.56004680 1.40290318 -32.088318 80.380431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40291119-1.40290318) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dl = 51.0317099996638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40291119-1.40290318) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dr = 51.0317099996638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56009474--0.56004680) × cos(1.40291119) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.167097595315459 × 6371000     		do = 51.0359067015294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56009474--0.56004680) × cos(1.40290318) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.167105492692383 × 6371000     		du = 51.0383187637204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40291119)-sin(1.40290318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167097595315459-0.167105492692383)×R²
    abs(-0.56004680--0.56009474)×7.8973769236379e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.8973769236379e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.8973769236379e-06×40589641000000     		ar = 2604.51113621474m²