Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53852 / 11764
↖ ↑ ↗
← N 81.313300°
W 32.091065°		 ← 46.13 m → N 81.313300°
W 32.088318°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.312885°
W 32.091065°		 ← 46.13 m →
2 128 m²		 N 81.312885°
W 32.088318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410861968994141 y=0.0897560119628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410861968994141 × 217)
    floor (0.410861968994141 × 131072)
    floor (53852.5)     		tx = 53852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0897560119628906 × 217)
    floor (0.0897560119628906 × 131072)
    floor (11764.5)     		ty = 11764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53852 / 11764 ti = "17/53852/11764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53852/11764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53852 ÷ 217
    53852 ÷ 131072     		x = 0.410858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11764 ÷ 217
    11764 ÷ 131072     		y = 0.089752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410858154296875 × 2 - 1) × π
    -0.17828369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56009474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089752197265625 × 2 - 1) × π
    0.82049560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57766296636966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56009474} λ = -0.56009474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57766296636966))-π/2
    2×atan(13.1663320154737)-π/2
    2×1.49499057008576-π/2
    2.98998114017151-1.57079632675     		φ = 1.41918481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56009474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.091065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41918481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.313300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53852 KachelY 11764 -0.56009474 1.41918481 -32.091065 81.313300
    Oben rechts KachelX + 1 53853 KachelY 11764 -0.56004680 1.41918481 -32.088318 81.313300
    Unten links KachelX 53852 KachelY + 1 11765 -0.56009474 1.41917757 -32.091065 81.312885
    Unten rechts KachelX + 1 53853 KachelY + 1 11765 -0.56004680 1.41917757 -32.088318 81.312885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41918481-1.41917757) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41918481-1.41917757) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56009474--0.56004680) × cos(1.41918481) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.151031358937964 × 6371000     		do = 46.1288645669098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56009474--0.56004680) × cos(1.41917757) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.151038515883763 × 6371000     		du = 46.1310504823767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41918481)-sin(1.41917757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151031358937964-0.151038515883763)×R²
    abs(-0.56004680--0.56009474)×7.15694579930815e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.15694579930815e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.15694579930815e-06×40589641000000     		ar = 2127.79226598567m²