Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53850 / 12458
↖ ↑ ↗
← N 81.020630°
W 32.096558°		 ← 47.67 m → N 81.020630°
W 32.093811°		 →
↑
47.66 m
↓
↑
47.66 m
↓
N 81.020202°
W 32.096558°		 ← 47.67 m →
2 272 m²		 N 81.020202°
W 32.093811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410846710205078 y=0.0950508117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410846710205078 × 217)
    floor (0.410846710205078 × 131072)
    floor (53850.5)     		tx = 53850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0950508117675781 × 217)
    floor (0.0950508117675781 × 131072)
    floor (12458.5)     		ty = 12458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53850 / 12458 ti = "17/53850/12458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53850/12458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53850 ÷ 217
    53850 ÷ 131072     		x = 0.410842895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12458 ÷ 217
    12458 ÷ 131072     		y = 0.0950469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410842895507812 × 2 - 1) × π
    -0.178314208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56019061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0950469970703125 × 2 - 1) × π
    0.809906005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54439475803334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56019061} λ = -0.56019061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54439475803334))-π/2
    2×atan(12.7355176832022)-π/2
    2×1.49243654318816-π/2
    2.98487308637633-1.57079632675     		φ = 1.41407676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56019061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.096558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41407676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.020630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53850 KachelY 12458 -0.56019061 1.41407676 -32.096558 81.020630
    Oben rechts KachelX + 1 53851 KachelY 12458 -0.56014267 1.41407676 -32.093811 81.020630
    Unten links KachelX 53850 KachelY + 1 12459 -0.56019061 1.41406928 -32.096558 81.020202
    Unten rechts KachelX + 1 53851 KachelY + 1 12459 -0.56014267 1.41406928 -32.093811 81.020202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41407676-1.41406928) × R
    7.47999999983762e-06 × 6371000     		dl = 47.6550799989655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41407676-1.41406928) × R
    7.47999999983762e-06 × 6371000     		dr = 47.6550799989655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56019061--0.56014267) × cos(1.41407676) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.156078822031193 × 6371000     		do = 47.6704897172845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56019061--0.56014267) × cos(1.41406928) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.156086210356459 × 6371000     		du = 47.6727463019962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41407676)-sin(1.41406928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156078822031193-0.156086210356459)×R²
    abs(-0.56014267--0.56019061)×7.38832526597788e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.38832526597788e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.38832526597788e-06×40589641000000     		ar = 2271.79476996315m²