Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53849 / 13889
↖ ↑ ↗
← N 80.385937°
W 32.099304°		 ← 51.01 m → N 80.385937°
W 32.096558°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.385478°
W 32.099304°		 ← 51.01 m →
2 603 m²		 N 80.385478°
W 32.096558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410839080810547 y=0.105968475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410839080810547 × 217)
    floor (0.410839080810547 × 131072)
    floor (53849.5)     		tx = 53849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105968475341797 × 217)
    floor (0.105968475341797 × 131072)
    floor (13889.5)     		ty = 13889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53849 / 13889 ti = "17/53849/13889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53849/13889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53849 ÷ 217
    53849 ÷ 131072     		x = 0.410835266113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13889 ÷ 217
    13889 ÷ 131072     		y = 0.105964660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410835266113281 × 2 - 1) × π
    -0.178329467773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.56023855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105964660644531 × 2 - 1) × π
    0.788070678710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.47579705467704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56023855} λ = -0.56023855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47579705467704))-π/2
    2×atan(11.8911812585295)-π/2
    2×1.48689780101761-π/2
    2.97379560203521-1.57079632675     		φ = 1.40299928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56023855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.099304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40299928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.385937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53849 KachelY 13889 -0.56023855 1.40299928 -32.099304 80.385937
    Oben rechts KachelX + 1 53850 KachelY 13889 -0.56019061 1.40299928 -32.096558 80.385937
    Unten links KachelX 53849 KachelY + 1 13890 -0.56023855 1.40299127 -32.099304 80.385478
    Unten rechts KachelX + 1 53850 KachelY + 1 13890 -0.56019061 1.40299127 -32.096558 80.385478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40299928-1.40299127) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dl = 51.0317099996638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40299928-1.40299127) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dr = 51.0317099996638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56023855--0.56019061) × cos(1.40299928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167010743180926 × 6371000     		do = 51.0093798239508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56023855--0.56019061) × cos(1.40299127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167018640675726 × 6371000     		du = 51.0117919221442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40299928)-sin(1.40299127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167010743180926-0.167018640675726)×R²
    abs(-0.56019061--0.56023855)×7.89749479998547e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.89749479998547e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.89749479998547e-06×40589641000000     		ar = 2603.15742511108m²