Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53849 / 13885
↖ ↑ ↗
← N 80.387772°
W 32.099304°		 ← 51 m → N 80.387772°
W 32.096558°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.387313°
W 32.099304°		 ← 51 m →
2 603 m²		 N 80.387313°
W 32.096558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410839080810547 y=0.105937957763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410839080810547 × 217)
    floor (0.410839080810547 × 131072)
    floor (53849.5)     		tx = 53849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105937957763672 × 217)
    floor (0.105937957763672 × 131072)
    floor (13885.5)     		ty = 13885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53849 / 13885 ti = "17/53849/13885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53849/13885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53849 ÷ 217
    53849 ÷ 131072     		x = 0.410835266113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13885 ÷ 217
    13885 ÷ 131072     		y = 0.105934143066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410835266113281 × 2 - 1) × π
    -0.178329467773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.56023855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105934143066406 × 2 - 1) × π
    0.788131713867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.47598880227552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56023855} λ = -0.56023855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47598880227552))-π/2
    2×atan(11.8934615825953)-π/2
    2×1.48691381145905-π/2
    2.97382762291809-1.57079632675     		φ = 1.40303130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56023855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.099304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40303130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.387772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53849 KachelY 13885 -0.56023855 1.40303130 -32.099304 80.387772
    Oben rechts KachelX + 1 53850 KachelY 13885 -0.56019061 1.40303130 -32.096558 80.387772
    Unten links KachelX 53849 KachelY + 1 13886 -0.56023855 1.40302329 -32.099304 80.387313
    Unten rechts KachelX + 1 53850 KachelY + 1 13886 -0.56019061 1.40302329 -32.096558 80.387313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40303130-1.40302329) × R
    8.01000000016927e-06 × 6371000     		dl = 51.0317100010784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40303130-1.40302329) × R
    8.01000000016927e-06 × 6371000     		dr = 51.0317100010784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56023855--0.56019061) × cos(1.40303130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166979172813785 × 6371000     		do = 50.9997374212047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56023855--0.56019061) × cos(1.40302329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166987070351417 × 6371000     		du = 51.0021495324802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40303130)-sin(1.40302329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166979172813785-0.166987070351417)×R²
    abs(-0.56019061--0.56023855)×7.89753763211221e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.89753763211221e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.89753763211221e-06×40589641000000     		ar = 2602.66535730839m²