Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53848 / 11753
↖ ↑ ↗
← N 81.317862°
W 32.102051°		 ← 46.10 m → N 81.317862°
W 32.099304°		 →
↑
46.06 m
↓
↑
46.06 m
↓
N 81.317448°
W 32.102051°		 ← 46.10 m →
2 123 m²		 N 81.317448°
W 32.099304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410831451416016 y=0.0896720886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410831451416016 × 217)
    floor (0.410831451416016 × 131072)
    floor (53848.5)     		tx = 53848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0896720886230469 × 217)
    floor (0.0896720886230469 × 131072)
    floor (11753.5)     		ty = 11753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53848 / 11753 ti = "17/53848/11753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53848/11753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53848 ÷ 217
    53848 ÷ 131072     		x = 0.41082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11753 ÷ 217
    11753 ÷ 131072     		y = 0.0896682739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56028648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0896682739257812 × 2 - 1) × π
    0.820663452148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.57819027226548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56028648} λ = -0.56028648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57819027226548))-π/2
    2×atan(13.1732765307528)-π/2
    2×1.49503037957145-π/2
    2.99006075914291-1.57079632675     		φ = 1.41926443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56028648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.102051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41926443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.317862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53848 KachelY 11753 -0.56028648 1.41926443 -32.102051 81.317862
    Oben rechts KachelX + 1 53849 KachelY 11753 -0.56023855 1.41926443 -32.099304 81.317862
    Unten links KachelX 53848 KachelY + 1 11754 -0.56028648 1.41925720 -32.102051 81.317448
    Unten rechts KachelX + 1 53849 KachelY + 1 11754 -0.56023855 1.41925720 -32.099304 81.317448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41926443-1.41925720) × R
    7.22999999980267e-06 × 6371000     		dl = 46.0623299987428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41926443-1.41925720) × R
    7.22999999980267e-06 × 6371000     		dr = 46.0623299987428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56028648--0.56023855) × cos(1.41926443) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150952651782571 × 6371000     		do = 46.0952081822372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56028648--0.56023855) × cos(1.41925720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150959798930012 × 6371000     		du = 46.0973906496886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41926443)-sin(1.41925720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150952651782571-0.150959798930012)×R²
    abs(-0.56023855--0.56028648)×7.14714744137757e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.14714744137757e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.14714744137757e-06×40589641000000     		ar = 2123.30295551679m²