Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53845 / 11093
↖ ↑ ↗
← N 81.587265°
W 32.110290°		 ← 44.68 m → N 81.587265°
W 32.107544°		 →
↑
44.72 m
↓
↑
44.72 m
↓
N 81.586863°
W 32.110290°		 ← 44.68 m →
1 998 m²		 N 81.586863°
W 32.107544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410808563232422 y=0.0846366882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410808563232422 × 217)
    floor (0.410808563232422 × 131072)
    floor (53845.5)     		tx = 53845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0846366882324219 × 217)
    floor (0.0846366882324219 × 131072)
    floor (11093.5)     		ty = 11093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53845 / 11093 ti = "17/53845/11093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53845/11093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53845 ÷ 217
    53845 ÷ 131072     		x = 0.410804748535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11093 ÷ 217
    11093 ÷ 131072     		y = 0.0846328735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410804748535156 × 2 - 1) × π
    -0.178390502929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.56043029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0846328735351562 × 2 - 1) × π
    0.830734252929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.60982862601472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56043029} λ = -0.56043029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60982862601472))-π/2
    2×atan(13.5967205279745)-π/2
    2×1.49738136130001-π/2
    2.99476272260002-1.57079632675     		φ = 1.42396640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56043029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.110290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42396640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.587265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53845 KachelY 11093 -0.56043029 1.42396640 -32.110290 81.587265
    Oben rechts KachelX + 1 53846 KachelY 11093 -0.56038236 1.42396640 -32.107544 81.587265
    Unten links KachelX 53845 KachelY + 1 11094 -0.56043029 1.42395938 -32.110290 81.586863
    Unten rechts KachelX + 1 53846 KachelY + 1 11094 -0.56038236 1.42395938 -32.107544 81.586863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42396640-1.42395938) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dl = 44.7244199998007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42396640-1.42395938) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dr = 44.7244199998007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56043029--0.56038236) × cos(1.42396640) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146302910144892 × 6371000     		do = 44.6753536367791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56043029--0.56038236) × cos(1.42395938) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146309854604954 × 6371000     		du = 44.677474211201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42396640)-sin(1.42395938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146302910144892-0.146309854604954)×R²
    abs(-0.56038236--0.56043029)×6.94446006269112e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.94446006269112e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.94446006269112e-06×40589641000000     		ar = 1998.12670047258m²