Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53842 / 21102
↖ ↑ ↗
← N 53.807139°
E115.762940°		 ← 360.67 m → N 53.807139°
E115.768433°		 →
↑
360.66 m
↓
↑
360.66 m
↓
N 53.803895°
E115.762940°		 ← 360.70 m →
130 086 m²		 N 53.803895°
E115.768433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821571350097656 y=0.321998596191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821571350097656 × 216)
    floor (0.821571350097656 × 65536)
    floor (53842.5)     		tx = 53842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321998596191406 × 216)
    floor (0.321998596191406 × 65536)
    floor (21102.5)     		ty = 21102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53842 / 21102 ti = "16/53842/21102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53842/21102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53842 ÷ 216
    53842 ÷ 65536     		x = 0.821563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21102 ÷ 216
    21102 ÷ 65536     		y = 0.321990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821563720703125 × 2 - 1) × π
    0.64312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02044445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321990966796875 × 2 - 1) × π
    0.35601806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11846374193515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02044445} λ = 2.02044445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11846374193515))-π/2
    2×atan(3.06014941111838)-π/2
    2×1.25495403005542-π/2
    2.50990806011083-1.57079632675     		φ = 0.93911173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02044445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.762940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93911173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.807139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53842 KachelY 21102 2.02044445 0.93911173 115.762940 53.807139
    Oben rechts KachelX + 1 53843 KachelY 21102 2.02054032 0.93911173 115.768433 53.807139
    Unten links KachelX 53842 KachelY + 1 21103 2.02044445 0.93905512 115.762940 53.803895
    Unten rechts KachelX + 1 53843 KachelY + 1 21103 2.02054032 0.93905512 115.768433 53.803895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93911173-0.93905512) × R
    5.66100000000125e-05 × 6371000     		dl = 360.66231000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93911173-0.93905512) × R
    5.66100000000125e-05 × 6371000     		dr = 360.66231000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02044445-2.02054032) × cos(0.93911173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.590505121892295 × 6371000     		do = 360.673306574165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02044445-2.02054032) × cos(0.93905512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59055080713464 × 6371000     		du = 360.701210561459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93911173)-sin(0.93905512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590505121892295-0.59055080713464)×R²
    abs(2.02054032-2.02044445)×4.56852423443843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56852423443843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56852423443843e-05×40589641000000     		ar = 130086.29989753m²