Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53842 / 10934
↖ ↑ ↗
← N 81.650916°
W 32.118530°		 ← 44.34 m → N 81.650916°
W 32.115784°		 →
↑
44.34 m
↓
↑
44.34 m
↓
N 81.650517°
W 32.118530°		 ← 44.34 m →
1 966 m²		 N 81.650517°
W 32.115784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410785675048828 y=0.0834236145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410785675048828 × 217)
    floor (0.410785675048828 × 131072)
    floor (53842.5)     		tx = 53842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0834236145019531 × 217)
    floor (0.0834236145019531 × 131072)
    floor (10934.5)     		ty = 10934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53842 / 10934 ti = "17/53842/10934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53842/10934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53842 ÷ 217
    53842 ÷ 131072     		x = 0.410781860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10934 ÷ 217
    10934 ÷ 131072     		y = 0.0834197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410781860351562 × 2 - 1) × π
    -0.178436279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56057410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0834197998046875 × 2 - 1) × π
    0.833160400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.61745059305431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56057410} λ = -0.56057410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61745059305431))-π/2
    2×atan(13.7007502355585)-π/2
    2×1.49793682247316-π/2
    2.99587364494631-1.57079632675     		φ = 1.42507732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56057410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.118530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42507732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.650916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53842 KachelY 10934 -0.56057410 1.42507732 -32.118530 81.650916
    Oben rechts KachelX + 1 53843 KachelY 10934 -0.56052617 1.42507732 -32.115784 81.650916
    Unten links KachelX 53842 KachelY + 1 10935 -0.56057410 1.42507036 -32.118530 81.650517
    Unten rechts KachelX + 1 53843 KachelY + 1 10935 -0.56052617 1.42507036 -32.115784 81.650517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42507732-1.42507036) × R
    6.95999999988928e-06 × 6371000     		dl = 44.3421599992946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42507732-1.42507036) × R
    6.95999999988928e-06 × 6371000     		dr = 44.3421599992946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56057410--0.56052617) × cos(1.42507732) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.145203853769958 × 6371000     		do = 44.3397435509421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56057410--0.56052617) × cos(1.42507036) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.145210740002684 × 6371000     		du = 44.3418463449464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42507732)-sin(1.42507036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145203853769958-0.145210740002684)×R²
    abs(-0.56052617--0.56057410)×6.88623272601663e-06×R²
    4.79299999999183e-05×6.88623272601663e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×6.88623272601663e-06×40589641000000     		ar = 1966.16662414563m²