Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53841 / 27184
↖ ↑ ↗
← N 29.305561°
E115.757446°		 ← 532.68 m → N 29.305561°
E115.762940°		 →
↑
532.62 m
↓
↑
532.62 m
↓
N 29.300771°
E115.757446°		 ← 532.70 m →
283 718 m²		 N 29.300771°
E115.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821556091308594 y=0.414802551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821556091308594 × 216)
    floor (0.821556091308594 × 65536)
    floor (53841.5)     		tx = 53841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414802551269531 × 216)
    floor (0.414802551269531 × 65536)
    floor (27184.5)     		ty = 27184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53841 / 27184 ti = "16/53841/27184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53841/27184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53841 ÷ 216
    53841 ÷ 65536     		x = 0.821548461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27184 ÷ 216
    27184 ÷ 65536     		y = 0.414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821548461914062 × 2 - 1) × π
    0.643096923828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02034857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414794921875 × 2 - 1) × π
    0.17041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.535359294956787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02034857} λ = 2.02034857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535359294956787))-π/2
    2×atan(1.70806183001952)-π/2
    2×1.04113743052856-π/2
    2.08227486105713-1.57079632675     		φ = 0.51147853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02034857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.757446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51147853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.305561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53841 KachelY 27184 2.02034857 0.51147853 115.757446 29.305561
    Oben rechts KachelX + 1 53842 KachelY 27184 2.02044445 0.51147853 115.762940 29.305561
    Unten links KachelX 53841 KachelY + 1 27185 2.02034857 0.51139493 115.757446 29.300771
    Unten rechts KachelX + 1 53842 KachelY + 1 27185 2.02044445 0.51139493 115.762940 29.300771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51147853-0.51139493) × R
    8.35999999999615e-05 × 6371000     		dl = 532.615599999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51147853-0.51139493) × R
    8.35999999999615e-05 × 6371000     		dr = 532.615599999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02034857-2.02044445) × cos(0.51147853) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.872021769272083 × 6371000     		do = 532.675788351721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02034857-2.02044445) × cos(0.51139493) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.872062685673644 × 6371000     		du = 532.700782196171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51147853)-sin(0.51139493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872021769272083-0.872062685673644)×R²
    abs(2.02044445-2.02034857)×4.09164015607866e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.09164015607866e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.09164015607866e-05×40589641000000     		ar = 283718.090839107m²