Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53841 / 27182
↖ ↑ ↗
← N 29.315141°
E115.757446°		 ← 532.63 m → N 29.315141°
E115.762940°		 →
↑
532.55 m
↓
↑
532.55 m
↓
N 29.310352°
E115.757446°		 ← 532.65 m →
283 658 m²		 N 29.310352°
E115.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821556091308594 y=0.414772033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821556091308594 × 216)
    floor (0.821556091308594 × 65536)
    floor (53841.5)     		tx = 53841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414772033691406 × 216)
    floor (0.414772033691406 × 65536)
    floor (27182.5)     		ty = 27182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53841 / 27182 ti = "16/53841/27182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53841/27182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53841 ÷ 216
    53841 ÷ 65536     		x = 0.821548461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27182 ÷ 216
    27182 ÷ 65536     		y = 0.414764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821548461914062 × 2 - 1) × π
    0.643096923828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02034857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414764404296875 × 2 - 1) × π
    0.17047119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.535551042555267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02034857} λ = 2.02034857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535551042555267))-π/2
    2×atan(1.70838937817577)-π/2
    2×1.04122103064484-π/2
    2.08244206128969-1.57079632675     		φ = 0.51164573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02034857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.757446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51164573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.315141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53841 KachelY 27182 2.02034857 0.51164573 115.757446 29.315141
    Oben rechts KachelX + 1 53842 KachelY 27182 2.02044445 0.51164573 115.762940 29.315141
    Unten links KachelX 53841 KachelY + 1 27183 2.02034857 0.51156214 115.757446 29.310352
    Unten rechts KachelX + 1 53842 KachelY + 1 27183 2.02044445 0.51156214 115.762940 29.310352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51164573-0.51156214) × R
    8.35900000000223e-05 × 6371000     		dl = 532.551890000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51164573-0.51156214) × R
    8.35900000000223e-05 × 6371000     		dr = 532.551890000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02034857-2.02044445) × cos(0.51164573) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.871939918185671 × 6371000     		do = 532.625789494447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02034857-2.02044445) × cos(0.51156214) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.871980841880597 × 6371000     		du = 532.650787794059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51164573)-sin(0.51156214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871939918185671-0.871980841880597)×R²
    abs(2.02044445-2.02034857)×4.09236949253655e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.09236949253655e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.09236949253655e-05×40589641000000     		ar = 283657.527469038m²