Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53841 / 21171
↖ ↑ ↗
← N 53.582723°
E115.757446°		 ← 362.64 m → N 53.582723°
E115.762940°		 →
↑
362.64 m
↓
↑
362.64 m
↓
N 53.579461°
E115.757446°		 ← 362.67 m →
131 512 m²		 N 53.579461°
E115.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821556091308594 y=0.323051452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821556091308594 × 216)
    floor (0.821556091308594 × 65536)
    floor (53841.5)     		tx = 53841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323051452636719 × 216)
    floor (0.323051452636719 × 65536)
    floor (21171.5)     		ty = 21171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53841 / 21171 ti = "16/53841/21171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53841/21171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53841 ÷ 216
    53841 ÷ 65536     		x = 0.821548461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21171 ÷ 216
    21171 ÷ 65536     		y = 0.323043823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821548461914062 × 2 - 1) × π
    0.643096923828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02034857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323043823242188 × 2 - 1) × π
    0.353912353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11184844978758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02034857} λ = 2.02034857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11184844978758))-π/2
    2×atan(3.03997244060806)-π/2
    2×1.25299563003658-π/2
    2.50599126007316-1.57079632675     		φ = 0.93519493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02034857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.757446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93519493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.582723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53841 KachelY 21171 2.02034857 0.93519493 115.757446 53.582723
    Oben rechts KachelX + 1 53842 KachelY 21171 2.02044445 0.93519493 115.762940 53.582723
    Unten links KachelX 53841 KachelY + 1 21172 2.02034857 0.93513801 115.757446 53.579461
    Unten rechts KachelX + 1 53842 KachelY + 1 21172 2.02044445 0.93513801 115.762940 53.579461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93519493-0.93513801) × R
    5.69200000000158e-05 × 6371000     		dl = 362.637320000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93519493-0.93513801) × R
    5.69200000000158e-05 × 6371000     		dr = 362.637320000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02034857-2.02044445) × cos(0.93519493) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.593661574594892 × 6371000     		do = 362.639051460182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02034857-2.02044445) × cos(0.93513801) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.593707378000488 × 6371000     		du = 362.66703053828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93519493)-sin(0.93513801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593661574594892-0.593707378000488)×R²
    abs(2.02044445-2.02034857)×4.5803405595457e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.5803405595457e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.5803405595457e-05×40589641000000     		ar = 131511.526913494m²